自然数约数解题技巧（两类比值法定义物理量不可通约性及其特殊联系性教研分享系列249）

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​一、问题提出​

在某微信群，有朋友讨论了下面这道题：

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参考解析很好地“区分”了正、误选项，但是根本没有深入到物理知识本质层面，因此具有非死记硬背思维模式，即具有深度学习思维模式的，自会提出“为什么”类问题。例如吴老师就提出了这类问题：

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其他几位老师的交流回答，并没有突破参考解析的思维模式，估计并不能解答吴老师的疑惑。

那么吴老师的疑惑关键点是什么？如何深入才能切中疑惑的要害而超越参考解析思维模式？在实际教学中还可能生成怎样的新疑惑？新疑惑又如何解惑？

前些日，号主所在学校所在年级的期中考试卷中，事实上也“引用”了此题，号主结合试卷点评尝试着回答上面问题。

​二、两类比值法定义物理量​的不可通约性

中学物理中，很多“未知”物理量是运用比值法定义的，即用两个“已知”物理量或物理量的变化量作比定义。

比值法定义的物理量具有一定的共同特点，例如：

特点1，被定义物理量与已知物理量没有必然的关系。

特点2，被定义物理量具有了崭新的物理意义，即表征了一种新性质的定量关系，这种新性质的定量比较有了新定义物理量而变得“简单”，不再需要运用“控制变量法”控制一个物理量不变去比较另一个物理量大小。

事实上，比值法定义物理量具有三类，本文只讨论其中两类：

第一类，所定义物理量一般表征事物的某种固有属性，一般是由两个物理量直接作比定义，例如电阻器的电阻、场物质的场强、劲度系数、摩擦因数、质量、密度、电容器的电容，还包括一些普适常数等等。

第二类，所定义物理量一般表征事物的某种变化率（或梯度），一般是由两个物理量的变化量作比定义，例如速度、加速度、功率、感应电动势等等。

严格说起来，两类比值法定义的物理量除了前述两个特点外，另外还具有一定的共通性，例如变化率在一定意义上也表征了事物的功能特征，只不过这种功能特征并不是事物的固有不变属性，而是一种可能或可允许存在的状态。

但是更应该注意到两类物理量的差异性，最最需要明白的是：两类物理量具有不可通约性。很遗憾，由于教材编写简化表述、新授课教学简化处理、习题教学中应试倾向等等原因导致了这方面的概念迷思。例如x—t图像，基本上都是位置—时刻图像，称之为位移—时间图像很容易导致思维混乱，有些学生直接运用V=x/t解答试题，绝大多数时候未能得到正确答案，原因就在于没有理解速度的定义，未能正确理解速度定义，与不良教学具有相关性。

所谓两类比值法定义物理量不具有通约性，就是指某物理量是第一类比值法定义，那么就不能使用第二类来定义，即物理量是物理量y除以物理量x定义，则决不能再用物理量的变化量Δy除以物理量的变化量Δx定义，反之亦然。

前述速度案例就是如此，是Δx/Δt，绝不是x/t。同理，电阻R由U/I定义，而不能轻易使用ΔU/ΔI进行计算。

比值法定义物理量，如同所有概念一样，都有特定的生成背景，即具有质的规定，不能恣意更改其“质的规定”，否则就内涵突变，自然就脱离了原有概念的本质。从这个意义上而言，两类比值法定义物理量具有本质上的差异，不可混淆。

未能理解两类比值法定义物理量的上述本质区别，导致相关题型不明故里也就十分自然了。

​ 三、两类比值法定义物理量的特殊联系性​

当我们做出“特殊”规定时，y/x＝Δy/Δx。例如，0时刻开始计时，出发点位置规定为0，那么在一条直线上单向运动，在数值上，位移就等于位置坐标，时间就等于时刻，也正是从这个特殊意义上而言，x—t图像可由位置—时刻图像称之为位移—时间图像，前者具有一般性，后者只是特殊性。很遗憾，人教版教材一直使用只适合特殊性的名称——位移-时间图像，而放弃了更具一般性的名称——位置-时刻图像。事实上，也只有在上面特殊规定下，而且还得再规定物体做匀速运动情况下，才会有x/t＝Δx/Δt。总之，对于速度，Δx/Δt才是定义，具有普适性；x/t不是其定义，只有在特殊情况下才能用来计算速度。

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再以电阻概念为例，电阻的定义式是：R＝U/I，具有普适性；ΔU/ΔI不是定义，只有在特殊情况下才能用来计算电阻器的电阻。例如，只有电阻器的电阻不变时，其两端电压的变化量与通过其电流的变化量之比才会等于其电阻值；然而，U/I这个定义式没有这样的条件性，任何时候都可以使用，电阻器的电阻变了，U/I也就随之改变，后者永远等于前者。

注意到，因为没有深入到物理概念的本质，肤浅记忆教材与教辅中的结论，导致有些结论产生负迁移。例如，学习了闭合电路欧姆定律理论知识和实验运用，认为r＝ΔU/ΔI是电源内阻的定义，是可随时用来计算电源的内阻，这是一种错误认知。也正是这样，U/I和ΔU/ΔI之间产生混淆而不明故里。根据电阻的定义，电源内阻r＝U内/U干，然而U内是无法直接测量的，一般要通过U内=E—U外进行计算；注意，内阻r不能用ΔU内/ΔI干来定义，使用此式具有特殊条件，这个条件就是：电源内阻不变。

在测量原电池内阻实验中，在操作上有一个要求，那就是闭合开关测量时，尽可能快速读出数据，然后断开开关，记录数据后，再移动变阻器滑片，闭合开关再快速读数，断开开关，记录数据，移动滑片，快速读数，断开开关，记录数据…

为什么要快速读数，闭合电路不能长时间持续工作？大多数解释是，在长时间持续工作过程中，内阻会发生改变，此时内阻≠彼时内阻。如此解释自然蒙混过去，但更本质原因是：此情景下，内阻r＝ΔU/ΔI在理论上就不可使用。

开篇例题参考解析虽然没有什么错误，但是没有把“道理”说清楚，没有深入到物理知识本质。

当然，即使深入到知识本质，就知识本质也允许质疑，也很可能受到有理由的质疑。 例如，号主授课后，一个学生就追着质疑：

外电阻增大，U/I增大，那么ΔU/ΔI也必然增大。老师，你不信，你就从图像上画，你一定画不出前者增大，后者不变的情况！这位学生与号主特亲，号主故意给了他一个“不信”的眼神，于是他就急得自己画了下面图像：

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可见，学生是有理由的质疑，如此质疑如何化解呢？

事实上，针对本题，外电压和干路电流的图像遵循下面规律：U＝E—Ir。外电阻改变时，应该理解为外电路“电阻器”改变，即电阻器的伏安特性曲线改变，如下图所所示。

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事实上，根据电阻的定义，在U—I图像中图线某一点对应的电阻＝该点与原点连线的斜率，号主称之为割线斜率，这是第一类比值法定义的物理量在物理图像中必然体现；第二类比值法定义物理量，在物理图像中是由图线的切线斜率表示。 说及此，来一个插曲： 浙江陈敏华老师就牛顿第二定律的表述提出质疑，陈老师认为“加速度与质量成反比”说法是错误的，原因是质量改变了，在本质上就是研究对象改变了。牛顿运动定律下的质量是惯性质量，是研究对象的固有属性，惯性质量定义式正是：m＝F/a，属于第一类比值法定义物理量，这与电阻的定义从数理逻辑来看是一致的。从上面学生质疑及号主答疑来看，陈敏华老师的观点不无道理。 ​四、拓展思考​ 概念学习和规律学习具有一致性，又具有差异性。

一致性体现在概念与规律往往联系在一起，例如电阻与欧姆定律，劲度系数与胡克定律等等都是联系在一起的。

差异性体现在概念与规律在特征上有差别，前者具有无条件性，后者具有条件性。例如R＝U/I是电阻的定义式，虽然具有“质的规定性”，但是这不是条件性，而是区别于其他概念的内涵约定，一切电阻器的电阻计算都适用；而I＝U/R，这是欧姆定律的表达式，欧姆定律的成立是有条件的，只有在纯电阻电路条件下成立。

从单元教学视角，辩证性地处理好紧密相关的概念与规律教学，这是形成正确的物理观念的前提条件之一。

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