三角形中位线定理的经典题型（压轴题中对三角形中位线的另类诠释）

压轴题中对三角形中位线的另类诠释

关于三角形的中位线，定义是连接三角形两边中点的线段，性质是它平行于第三边且等于第三边的一半；判定方法是经过三角形一边中点且与第三边平行。在几何证明中，它的作用通常是构造线段间的位置关系和数量关系，是数形结合的桥梁之一。然而，对于中位线，解读不能仅仅只着眼于平行、一半这些字眼，事实上，换个角度，还能有更多描述，这对数学文本解读提出了新的要求。

题目

如图，抛物线y=ax² 1/2x c交x轴于A，B两点，交y轴于C点，直线y=-1/2x-2经过A，C。

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m。

①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；

②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B'到该直线的距离都相等，当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l:y=kx b的解析式（k，b可用含m的代数式表示）

解析：

(1)直线已知，于是它与坐标轴的两个交点A和C可求，分别为A(-4，0)，C(0，-2)，再将它们代入抛物线解析式中，求得a=1/4，c=-2，所以y=1/4x² 1/2x-2；

(2)①关于直角三角形存在性的讨论，可以依据直角顶点所在位置，图中点M不可能是直角顶点，因此剩下两种，点P和点C，即∠MPC=90°或∠PCM=90°，先看第一种，此时PC与x轴平行，如下图：

点P(m,1/4m² 1/2m-2)的纵坐标与点C相同，得到1/4m² 1/2m-2=-2，解得m=0或m=-2，显然m=0舍去，所以P(-2，-2)；

再看第二种，∠PCM=90°，此时PC⊥AC，如下图：

较为简单的思路是，作PD⊥y轴，这样构造出△PCD，它与△AOC相似，且△AOC是两直角边之比为1：2的直角三角形，于是可以得到PD：CD=1：2，因此m:(1/4m² 1/2m-2 2)=1:2，解得m=0或m=6，显然m=0舍去，因此m=6，∴P(6，10)；

②如何理解“存在一条直线l，使B，M，B'到它的距离相等”？点到直线的距离应该理解为垂线段的长度，这三个点恰好构成一个三角形，而在三角形中，是否存在一条线，使三个顶点到它的距离相等呢？答案是存在，这条线是中位线。如下图：

我们先写出点B'的坐标(-2，-4)和点M的坐标(m，-1/2m-2)，然后分别来寻找这三条中位线所在直线的解析式。

先求出BB'解析式为y=x-2，BM斜率为(m 4)/(4-2m)，B'M斜率为(4-m)/(2m 4)，于是过点C的两条直线为y=(m 4)x/(4-2m)-2和y=(4-m)x/(2m 4)-2，过BM中点的直线为y=x-3/4m-2。

解题反思：

这道题的难点就是最后一问中关于到三点距离相等的直线，到三点距离相等的点我们曾经找过，在三角形内心，但到三点距离相等的直线，确实是比较少见。因此，对于三角形中位线的数量关系和位置关系，除了教材上的平行、一半之外，还可以拓展。

在平时教学过程中，作为老师，多接触各省市中考压轴题，见识外面更多教学研究成果，无疑对自身提升有极大帮助，中考已经结束，宜将剩勇追穷寇，不可沽名学霸王。

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