数字魔术加减法（魔术方阵数字的奥秘）

传说在我国古代大禹治水时，洛水曾经浮出一只大乌龟，只有大禹才可以指挥。这只乌龟背上奇妙的花纹引起了众人的注意。这些花纹是由45个圆点所组成的图案，后人称之为“洛书”。如果用阿拉伯数字来表示洛书所展现的内容，就可以看到一个神奇的“方阵”。好奇的人们发现：龟背的图形所代表的数字不管是沿着横行、纵列，甚至沿着对角线将数字一个一个加起来，都能得到“15”这个奇妙的数字。相传，大禹按照洛书划分出“九州”，并制定了治理天下的九类大法。由洛书发端的魔术方阵(幻方)在数千年后的今天更加生机盎然，成为具有永恒魅力的数学问题。经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。1977年，幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1 号、2 号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星文明传达人类的信息。看似简单的数字背后隐含着许多已被揭晓和更多莫测的奥秘。

传说中背刻符号的乌龟

数字发展史

数字是人类祖先的一大发明创造。早期的原始人在最初的狩猎生活中产生了“有”和“无”的概念。随着打猎技术的提高、捕获物数量的增加，“多”和“少”的概念便出现了。人类最早用来计数的工具是手指和脚趾，当数目很多时，大多数的原始人就用小石子来计数。渐渐地，人们又发明了打绳结来记数的方法，或者在兽皮、树木、石头上刻划横线来记数。这些记数方法和记数符号慢慢转变成了最早的数字符号(数码)。如今，世界各国都使用阿拉伯数字为标准数字。人类最早认识的数是诸如1，2，3 ……这样的自然数。随着认识的深化，逐渐出现了零和负数的概念，后来又认识到分数和小数的合理性。近代以来，科学家们又提出了有理数、无理数、虚数和实数等概念。“数”发展成了一个十分庞大的“家族”。

奇数阶魔术方阵

魔术方阵中若每列3 个方格，就叫作“三阶”；同理，若每列有4 个方格，就叫作“四阶”；依次类推“五阶”、“六阶”……且具有各对角线、各横行与纵列的数字和都相等的性质。

三阶魔术方阵的构成法

幻方的发展

13 世纪，我国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究，欧洲14 世纪也开始了这方面的研究工作。著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究。如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一。

幻方的应用

目前，幻方已在组合分析、实验设计、图论、数论、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、

人工智能等领域得到广泛应用。

数的具体分类

数是一个十分庞大的“家族”，按照不同的“血缘”关系，它有不同的分支，在了解数的具体分类之前，我们先明确一下复数的概念。复数的产生来自解代数方程的需要。16世纪，意大利数学家卡尔达诺首先用公式表示出了一元三次方程的根，引出了虚数的概念。19 世纪，数学家们对这些虚数参与实数的代数运算做了科学的解释，并在解方程和其他领域中使虚数得到了广泛的应用，复数因此得到科学而完整的诠释。

数字的计算

算术中的加法、减法、乘法、除法运算统称为四则运算。四则运算的起源很早，有的几乎与数字同时发生，如罗马数字6 写成VI，即5 加1 的意思，4 写成IV，即5 减去1 的意思。“ ”与“-”这两个符号是德国数学家威特曼在1489 年他的著作《简算与速算》一书中首先使用的，1514 年被荷兰数学家赫克作为代数运算符号，后又经法国数学家韦达的宣传和提倡，开始普及，直到1630 年才获得大家的公认。“×”是英国数学家奥特雷德于1631年

提出来的，是表示增加的另一种方法，所以把“ ”号斜过来就是乘号；另一种乘法符号“·”是德国数学家莱布尼兹首先使用的，以免“×”与“X”字母相混。“÷”是瑞士学者雷恩于1656 年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受。

关于数字“0”

“0”不是数物体数出来的，而是为了记数的需要产生的，它出世很晚。我国古代用竹筹记数，遇零就空位，以后文字记数就用□表示空位。后来传到印度(当时印度人用圆点“·”表

示空位)，逐渐书写演变成了“0”。7 世纪初，印度大数学家葛拉夫·玛格蒲达首先说明了0 的性质：任何数乘0 是0，任何数加上0 或减去0 得任何数。有的学者认为，0 的概念之所以

在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。0 的创造在数学史上是一个重大的发展，一产生就成为一个独立的符号，意义越来越广泛，内容比其他所有

数字更为丰富。

阿拉伯数字的发明

我们现在常用的数字是阿拉伯数字，但阿拉伯数字的发明者却是印度人。两千多年前，印度人就开始使用1，2，3……９这9 个数字。这些数字的“样品”最早发现在公元前750年左右，印度乌索库王朝建造的石柱上。此后，用这些数字表示数的方式与其他计数方法产生了很大差异，它采用进位计数，以0，1，2 ……9 共10 个数码表示任一数，低一位的数满10 后就进到

高一位上去，如11。这种革命性的变化令这些新型数字进行数字运算要比罗马数字或字母符号方便很多。13 世纪时，阿拉伯商人将这种先进的计数方式带到欧洲，并因此风靡全世界。由于这些数字是由阿拉伯人传到欧洲的，因而它称被作“阿拉伯数字”或“印度－阿拉伯数系”。

阿拉伯商人使印度人发明的数字传入西方