数学中的数形结合解题方法（一张图就能看懂的数学题）

说起平均数，没有人不知道吧。有不明白的，被平均几回也懂了。

不过平均数并不只一种，我们平常用的最多的，叫算术平均数。

像左边这样两个数（或者几个数）加起来，再除以二（或者除以几），叫做算术平均数。右边这样，两（几）个数乘起来，再开（几次）方的，就叫几何平均数。

几何平均数听起来挺面生，其实也很常见。比如说算算菜价，上个月比上上个月涨了3%，这个月又比上上个月涨了5%，那么平均每个月涨了多少呢，是（3% 5%）÷2=4%？

当然不能这么算，而要用到几何平均数：

简单的说 ，算术平均数适合算可以相加的数，几何平均数适合算可以连乘的数。

左边的长方形边长分别是a和b，面积等于ab。右边的正方形面积同样等于ab，边长等于长方形两边长的几何平均数。长方形的两边被取长补短，但面积不变，也就是几何属性不变。

算术平均数和几何平均数，哪个大？

因为平均数一般在统计中使用，我们这里只讨论正数的情况。

我们以a b为直径画一个圆，那么a和b的算术平均数就是这个圆的半径：

而几何平均数是经过a、b交点、垂直于a、b的弦的一半，这容易用相似三角形证明。

因为半弦小于等于半径，所以几何平均数小于等于算术平均数，且只有在a等于b的时候，两者相等。

除了算术平均数和几何平均数，我们还可以在一张图上，画下一个平均数全家桶：

上图中，直径延长线的部分（即BC）等于b，直径及延长线（即AC）等于a，且a>b>0。平均数的全家桶用不同颜色的线段表示，且有：

平方平均数>算术平均数>几何平均数>调和平均数

要看上一期，点这里：《一张图就能看懂的数学题（三）：算平方和还有立方和，从此不用记公式》

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