三角形重心性质证明（几何三角形重心的特性及公式证明）

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

证明方法：

设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为：

(x1-x)2 (y1-y)2 (x2-x)2 (y2-y)2 (x3-x)2 (y3-y)2

=3x2-2x(x1 x2 x3) 3y2-2y(y1 y2 y3) x12 x22 x32 y12 y22 y32

=3[x-1/3*(x1 x2 x3)]2 3[y-1/3*(y1 y2 y3)]2 x12 x22 x32 y12 y22 y32-1/3(x1 x2 x3)2-1/3(y1 y2 y3)2

显然当x=(x1 x2 x3)/3,y=(y1 y2 y3)/3（重心坐标）时

上式取得最小值x12 x22 x32 y12 y22 y32-1/3(x1 x2 x3)2-1/3(y1 y2 y3)2

最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

5、三角形内到三边距离之积最大的点是重心。

需要应用多项圴值不等式的柯西证明法！

6、在△ABC中，若MA向量 MB向量 MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA 向量OB 向量OC）