直线与圆的位置关系中考分析（直线与圆的位置关系）

备战2021中考：直线与圆的位置关系（100套）a，接下来我们就来聊聊关于直线与圆的位置关系中考分析?以下内容大家不妨参考一二希望能帮到您!

直线与圆的位置关系中考分析

备战2021中考：直线与圆的位置关系（100套）a

一、选择题

1. （2011宁波市，11，3分）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB与P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现

A． 3次 B．5次 C． 6次 D． 7次

【答案】B

2. （2011浙江台州，10,4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（ ）

A. B. C. 3 D.2

【答案】B

3. （2011浙江温州，10，4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O边AB，BC都相切，点E，F分别在边AD，DC上．现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE＝2，则正方形ABCD的边长是( )

A．3 B．4 C． D．

【答案】C

4. （2011浙江丽水，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）

A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(5，1) D．点(6，1)

【答案】C

5. （2011浙江金华，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）

A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点(6，1)

【答案】C

6. （2011山东日照，11，4分）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为的是（ ）

【答案】C

7. （2011湖北鄂州，13，3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）

A．30° B．45° C．60° D．67.5°

【答案】D

8. (2011 浙江湖州，9，3)如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC＝OB， CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

9. （2011台湾全区，33）如图(十五)，为圆O的直径，在圆O上取异于A、B的一点C，并连接、

．若想在上取一点P，使得P与直线BC的距离等于长，判断下列四个作法何者正确？

A．作的中垂线，交于P点

B．作∠ACB的角平分线，交于P点

C．作∠ABC的角平分线，交于D点，过D作直线BC的并行线，交于P点

D．过A作圆O的切线，交直线BC于D点，作∠ADC的角平分线，交于P点

【答案】Ｄ

10．（2011甘肃兰州，3，4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于

A．20° B．30° C．40° D．50°

【答案】C

11. （2011四川成都，10,3分）已知⊙O的面积为，若点0到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是C

(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定

【答案】C

12. (2011重庆綦江，7，4分) 如图,PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P＝60°，OA＝3，那么∠AOB所对弧的长度为（ ）

A．6л B．5л C．3л D．2л

【答案】：D

13. （2011湖北黄冈，13，3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）

A．30° B．45° C．60° D．67.5°

【答案】D

14. （2011山东东营，12，3分）如图，直线与x轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O。若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D． 5

【答案】B

15. （2011浙江杭州，5，3）在平面直角坐标系xOy中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（ ）

A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交

C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离

【答案】C

16. （2011山东枣庄，7，3分）如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为（ ）

A.1 B. C.2 D.4

【答案】C

二、填空题

1. （2011广东东莞，9，4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点，连结BC.若∠A＝40°，则∠C＝ °

【答案】

2. （2011四川南充市，13，3分）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点， AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P= __________度.

【答案】50

3. （2011浙江衢州，16,4分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.用角尺的较短边紧靠，并使较长边与相切于点.假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点，较短边.若读得长为，则用含的代数式表示为 .

【答案】当时，；当.

4. (2011浙江绍兴，16，5分) 如图，相距2cm的两个点在在线上，它们分别以2 cm/s和1 cm/s的速度在上同时向右平移，当点分别平移到点的位置时，半径为1 cm的与半径为的相切，则点平移到点的所用时间为 s.

【答案】

5. （2011江苏苏州，16,3分）如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D.若CD=，则线段BC的长度等于__________.

【答案】1

6. （2011江苏宿迁,17,3分）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝26°，则∠ACB的度数为 ▲ ．

【答案】32

7. （2011山东济宁，13，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm，以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 ．

【答案】相交

8. （2011广东汕头，9，4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点，连结BC.若∠A＝40°，则∠C＝ °

【答案】

9. （2011山东威海，17，3分）如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，没得CE＝5cm，将量角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、BC相切，如图②，则AB的长为 cm.（精确到0.1cm）

图① （第17题） 图②

【答案】 24.5

10．（2011四川宜宾,11,3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=_____．

【答案】20°

11. （2010湖北孝感，18，3分）如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半

圆M的弦AB与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x、y，线

段ED的长为z，则z（x y）= .

【答案】8π

12. （2011广东省，9，4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点，连结BC.若∠A＝40°，则∠C＝ °

【答案】

三、解答题

1. （2011浙江义乌，21，8分）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的

延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD= .

（1）求证：CD∥BF；

（2）求⊙O的半径；

（3）求弦CD的长.

【答案】（1）∵BF是⊙O的切线 ∴AB⊥BF

∵AB⊥CD

∴CD∥BF

（2）连结BD ∵AB是直径 ∴∠ADB=90°

∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=

∴cos∠BAD=

又∵AD=3 ∴AB=4

∴⊙O的半径为2

（3）∵cos∠DAE= AD=3∴AE=

∴ED=

∴CD=2ED=2(7)

2. （2011浙江省舟山，22，10分）如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．

（1）求证：CA是圆的切线；

（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．

【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC ∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，

∴∠ACD ∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．

(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;

在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;

∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,

∴BC=．即圆的直径为10.

3. （2011安徽芜湖，23，12分）如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D.

(1) 求证：CD为⊙O的切线；

(2) 若DC DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.

【答案】

（1）证明：连接OC， ……………………………………1分

因为点C在⊙O上，OA=OC，所以 因为，所以，有.因为AC平分∠PAE，所以……………3分

所以 ……4分

又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线. ………………5分

（2）解:过O作，垂足为F，所以，

所以四边形OCDF为矩形，所以 ……………………………7分

因为DC DA=6，设,则

因为⊙O的直径为10，所以，所以.

在中，由勾股定理知

即化简得，

解得或x=9. ………………9分

由，知，故. ………10分

从而AD=2， …………………11分

因为，由垂径定理知F为AB的中点，所以…………12分

4. （2011山东滨州，22，8分）如图，直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM, 连接OM、BC.

求证：（1）△ABC∽△POM;

(2)2OA2=OP·BC.

【答案】证明：（1）∵直线PM切⊙O于点M，∴∠PMO=90°………………1分

∵弦AB是直径，∴∠ACB=90°………………2分

∴∠ACB=∠PMO………………3分

∵AC∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4分

∴△ABC∽△POM………………5分

(2) ∵ △ABC∽△POM, ∴………………6分

又AB=2OA,OA=OM, ∴………………7分

∴2OA2=OP·BC………………8分

5. （2011山东菏泽，18，10分）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，

(1)求证：△ABE∽△ADB；

(2)求AB的长；

(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

解：(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，

∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D，

又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB，

(2) ∵△ABE∽△ADB，∴，

∴AB2=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(2＋4)×2=12

∴AB=．

(3) 直线FA与⊙O相切，理由如下：

连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，

∴，

BF=BO=，

∵AB=，∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，

∴直线FA与⊙O相切．

6. （2011山东日照，21，9分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．

求证：（1）∠AOC=2∠ACD；

（2）AC2＝AB·AD．

【答案】证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，

即∠ACD ∠ACO=90°．…① ∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，

∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC ∠ACO=90°. ② 由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；

（2）如图，连接BC．

∵AB是直径，∴∠ACB=90°．

在Rt△ACD与△RtACD中，

∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，

∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=AB·AD．

7. （2011浙江温州，20，8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA＝3，AE＝2，

(1)求CD的长；

(2)求BF的长．

【答案】解：(1)连结OC，在Rt△OCE中，．

∵CD⊥AB，

∴

(2) ∵BF是⊙O 的切线，

∴FB⊥AB，

∴CE∥FB，

∴△ACE∽△AFB，

∴，，

∴

8. （2011浙江省嘉兴，22，12分）如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．

（1）求证：CA是圆的切线；

（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．

【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC ∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，

∴∠ACD ∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．

(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;

在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;

∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,

∴BC=．即圆的直径为10.

9. （2011广东株洲，22，8分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD=∠C．

（1）求证：OD⊥AC；

（2）若AE=8，，求OD的长．

【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径

∴∠ABC=90°，∠A ∠C=90°，

又∵∠AOD=∠C，

∴∠AOD ∠A=90°，

∴∠ADO=90°，

∴OD⊥AC.

（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，

∴D为AE中点 ，

∴，

又 ，∴ OD=3.

10．（2011山东济宁，20，7分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF，

（1）求证：OD∥BE；

（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．

【答案】（1）证明：连接OE，

∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径，

∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，

∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，

∵∠ABE=∠AOE，∴∠AOD=∠ABE，

∴OD∥BE

（2）OF=CD，

理由：连接OC，

∵BC、CE是⊙O的切线，

∴∠OCB=∠OCE

∵AM∥BN，

∴∠ADO ∠EDO ∠OCB ∠OCE=180°

由（1）得∠ADO=∠EDO，

∴2∠EDO 2∠OCE=180°，即∠EDO ∠OCE=90°

在Rt△DOC中，∵F是DC的中点，

∴OF=CD．

11. （2011山东聊城，23，8分）如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接OD、AE，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P，

（1）求∠AOD的度数；

（2）求证：PD是半圆O的切线；

【答案】（1）∵点C是OA的中点，∴OC＝OA＝OD，∵CD⊥OA，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，cos∠COD＝，∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°，

（2）证明：连接OC，点E是BD弧的中点，DE弧＝BE弧，∴∠BOE＝∠DOE＝∠DOB＝ (180°－∠COD)＝60°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO＋∠AEO＝∠EOB＝60°，∴∠EAO＝30°，∵PD∥AE，∴∠P＝∠EAO＝30°，由（1）知∠AOD＝60°，∴∠PDO＝180°－(∠P＋∠POD)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴PD是圆O的切线

12. （2011山东潍坊，23，11分）如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.

（1）求证：△ABC∽ΔOFB；

（2）当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；

（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点.

【解】（1）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC.

又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB.

∵BN是半圆的切线，故∠BCA=∠OBF=90°.

∴△ACB∽△OBF.

（2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，

∴△ABD∽△BFO，

当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO.

∴AD=BO=AB =1.

∵DA⊥AB，∴DA为⊙O的切线.

连接OP，∵DP是半圆O的切线，

∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，

∴四边形ADPO为正方形.

∴DP//AB，∴四边形DABQ为矩形.

∴BQ=AD=1.

（3）由（2）知，△ABD∽△BFO，

∴，∴.

∵DPQ是半圆O的切线，∴AD=DP，QB=QP.

过点Q作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，，

∴，

∴，∴BF=2BQ，∴Q为BF的中点.

13. （2011四川广安，29，10分）如图8所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）求证： AQ·PQ= OQ·BQ；

（3）设∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的长

【答案】（1）证明：如图，连结OP

∵PA=PB，AO=BO，PO=PO

∴△APO≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90°

∴PB是⊙O的切线

（2）证明：∵∠OAQ=∠PBQ=90°

∴△QPB∽QOA

∴ 即AQ·PQ= OQ·BQ

（3）解：cos== ∴AO=12

∵△QPB∽QOA ∠BPQ=∠AOQ=

∴tan∠BPQ== ∴PB=36 PO=12

∵AB·PO= OB·BP ∴AB=

14. （2011江苏淮安，25，10分）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°.

(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD，若CD=5，求AB的长.

【答案】(1)答：直线BD与⊙O相切.理由如下：

如图，连接OD，

∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，

∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°，

即OD⊥BD，

∴直线BD与⊙O相切.

(2)解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°，

∴∠DOB=∠ODA ∠DAB=60°，

又∵OC=OD，

∴△DOB是等边三角形，

∴OA=OD=CD=5.

又∵∠B=30°，∠ODB=30°，

∴OB=2OD=10.

∴AB=OA OB=5 10=15.

15. （2011江苏南通，22，8分）（本小题满分8分）

如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB.求∠B的度数.

【答案】60°.

16. （2011四川绵阳22，12）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD为直径的

半圆O与BC相切.

(1)求证：OB丄OC;

(2)若AD= 12，∠ BCD=60°，⊙O1与半⊙O 外切，并与BC、CD 相切，求⊙O1的面积.

【答案】（1）证明：连接OF,在梯形ABCD，在直角△AOB 和直角△AOB F中

∵

∴△AOB≌△AOB（HL）

同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°，即OB⊥OC

(2) 过点做O1G,O1H垂直DC,DA,∵∠DOB=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°，设O1G=x,又∵AD=12,∴OD=6，DC=6,OC=12,CG=x, O1C =6-x,根据勾股定理可知O1G² GC²=O1C²

x² 3x²=（6-x）²∴(x-2)(x 6)=0,x=2

17. （2011四川乐山24，10分）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.

(1)求证:CD是⊙O的切线;

(2)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的长

【答案】

⑴证明：连接OD

∵OA=OD

∴∠ADO=∠OAD

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADO ∠BDO=90°

∴在RtΔABD中，∠ABD ∠BAD=90°

∵∠CDA=∠CBD

∴∠CDA ∠ADO=90°

∴OD⊥CE

即CE为⊙O的切线

18. （2011四川凉山州，27，8分）如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点。

求证：是半圆的切线；

若，，求的长。

【答案】

⑴证明：连接，

∵是直径 ∴

有∵于 ∴

∵ ∴

∵是的角平分线

∴

又 ∵为的中点

∴

∵于

∵ 即

又∵是直径 ∴是半圆的切线 ···4分

（2）∵，。

由（1）知，，∴。

在中，于，平分，

∴，∴。

由∽，得。

∴，

∴。

19. （2011江苏无锡，27，10分）(本题满分10分)如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)。动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动。若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动。

(1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；

(2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形。

【答案】

解：(1)当点P在线段OA上时，P(3t，0)，…………………………………………………………(1分)

⊙P与x轴的两交点坐标分别为(3t − 1，0)、(3t 1，0)，直线l为x = 4 − t，

若直线l与⊙P相交，则4 − t < 3t 1．(3t − 1 < 4 − t，)……………(3分)

解得：4(3) < t < 4(5)．……………………………………………………………………(5分)

(2)点P与直线l运动t秒时，AP = 3t − 4，AC = t．若要四边形CPBD为菱形，则CP // OB，

∴∠PCA = ∠BOA，∴Rt△APC ∽ Rt△ABO，∴AO(AC)，∴4(t)，解得t = 9(16)，……(6分)

此时AP = 3(4)，AC = 9(16)，∴PC = 9(20)，而PB = 7 − 3t = 3(5) ≠ PC，

故四边形CPBD不可能时菱形．……………………………………………(7分)

(上述方法不唯一，只要推出矛盾即可)

现改变直线l的出发时间，设直线l比点P晚出发a秒，

若四边形CPBD为菱形，则CP // OB，∴△APC ∽ △ABO，AO(AC)，∴4(t − a)，

即：．(t − a)，解得24(5)

∴只要直线l比点P晚出发24(5)秒，则当点P运动24(41)秒时，四边形CPBD就是菱形．………………(10分)

20．（2011湖北武汉市，22，8分）（本题满分8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．

（1）求证：PB为⊙O的切线；

（2）若tan∠ABE=，求sinE的值．

【答案】(本题8分)（1）证明：连接OA

∵PA为⊙O的切线，

∴∠PAO=90°

∵OA＝OB，OP⊥AB于C

∴BC＝CA，PB＝PA

∴△PBO≌△PAO

∴∠PBO＝∠PAO＝90°

∴PB为⊙O的切线

（2）解法1：连接AD，∵BD是直径，∠BAD＝90°

由（1）知∠BCO＝90°

∴AD∥OP

∴△ADE∽△POE

∴EA/EP＝AD/OP 由AD∥OC得AD＝2OC

∵tan∠ABE=1/2

∴OC/BC=1/2，设OC＝t,则BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t

∴EA/EP=AD/OP=2/5，可设EA＝2m,EP=5m,则PA=3m

∵PA=PB∴PB=3m

∴sinE=PB/EP=3/5

（2）解法2：连接AD，则∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，

∴PA＝PB＝2t 过A作AF⊥PB于F，则AF·PB=AB·PC

∴AF=t 进而由勾股定理得PF＝t

∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5

21. （2011湖南衡阳，24，8分）如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交与点D．

(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；

(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．

【解】 (1) CD与⊙O的位置关系是相切，理由如下：

作直径CE，连结AE．

∵CE是直径， ∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE=90°，

∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD，

∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E，

∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°，

∴OC⊥D C，∴CD与⊙O相切．

（2）∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B，

又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°，

∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，

∴∠DOA=60°，

∴在Rt△DCO中， =，

∴DC=OC=OA=2．

22. （2011湖南永州，23，10分）如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC．

⑴求证：BE是⊙O的切线；

⑵若OA=10，BC=16，求BE的长．

【答案】证明：⑴∵AB是半圆O的直径 ∴∠ACB=90°

∵OD∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD ∠ABC=90°

又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD ∠OEB=90° ∴∠OBE=90°

∵AB是半圆O的直径 ∴BE是⊙O的切线

⑵在中，AB=2OA=20，BC=16，∴

∴ ∴

∴．

23. （2011江苏盐城，25，10分）如图，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）若AC=6，AB= 10，求⊙O的半径；

（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

【答案】（1）连接OD. 设⊙O的半径为r.

∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC.

∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC.

∴AC(OD) = AB(OB)，即 6(r) = 10(10-r). 解得r = 4(15)，

∴⊙O的半径为4(15).

(2)四边形OFDE是菱形.

∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF=∠B.

∵∠DEF=2(1)∠DOB，∴∠B=2(1)∠DOB.

∵∠ODB=90°，∴∠DOB ∠B=90°，∴∠DOB=60°.

∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等边三角形.

∴OD=DE.∵OD=OF，∴DE=OF.∴四边形OFDE是平行四边形.

∵OE=OF，∴平行四边形OFDE是菱形.

24. (20011江苏镇江27,9分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象是直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点.直线过点C(a,0)且与垂直,其中a>0,点P、Q同时从A点出发,其中点P沿射线AB运动,速度为每秒4个单位;点Q沿射线AO运动,速度为每秒5个单位.

(1)写出A点的坐标和AB的长;

(2)当点P、Q运动了t秒时,以点Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线、y轴都相切,求此时a的值.

答案:(1)A(-4,0),AB=5.

(2)由题意得：AP=4t,AQ=5t,,又∠PAQ=∠QAB,∴△APQ∽△AOB.

∴∠APQ=∠AOB=90°。

∵点P在上，∴⊙Q在运动过程中保持与相切。

①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB得

,∴PQ=6,

连接QF，则QF=PQ, △QFC∽△APQ∽△AOB得.

∴,,∴QC=,a=OQ QC=.

②当⊙Q在y轴左侧与y轴相切时，设与⊙Q相切于E, 由△APQ∽△AOB得

,∴PQ=.

连接QE，则QE=PQ,由△QEC∽△APQ∽△AOB得，∴，，

∴QC=,a=QC-OQ=.∴a的值为和。

25. （2011广东湛江27,12分）如图，在中，，点D是AC的中点，且,过点作，使圆心在上，与交于点．

（1）求证：直线与相切；

（2）若,求的直径．

【答案】（1）证明：连接OD，在中，OA=OD，

所以，

又因为，

所以，所以，即，

所以BD与相切；

（2）由于AE为直径，所以,由题意可知,又点D是AC的中点，且

，所以可得，即的直径为5.

26. （2011贵州安顺，26，12分）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

⑴求证：点D是AB的中点；

⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

⑶若⊙O的直径为18，cosB =，求DE的长．

【答案】（1）证明：连接CD,则CD， 又∵AC = BC， CD = CD， ∴≌

∴AD = BD ， 即点D是AB的中点．

（2）DE是⊙O的切线 ．

理由是：连接OD, 则DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC ， 又∵DE；

∴DE 即DE是⊙O的切线；

（3）∵AC = BC， ∴∠B =∠A ， ∴cos∠B = cos∠A =， ∵ cos∠B =， BC = 18，

∴BD = 6 ， ∴AD = 6 ， ∵ cos∠A = ， ∴AE = 2，

在中，DE=．

27. （2011河北，25，10分）如图14-1至14-4中，两平行线AB,CD间的距离为6，点M为AB上一定点.

思考

如图14-1，圆心为O的半圆纸片在AB,CD之间（包括AB,CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α.

当α= 度时，点P到CD的距离最小，最小值为 。

探究一

在图14-1的基础上，以点M为旋转中心，在AB,CD之间顺时针旋转该半圆纸片，直到不能再转动为止，如图14-2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点N到CD的距离是

探究二

将图14-1中的扇形纸片NOP按下面对α要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转。

（1）如图14-3，当α=60°时，球在旋转过程中，点p到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；

（2）如图14-4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围.

（参考数据：sin49°=,cos41°=，tan37°= ）

【答案】思考 90，2；

探究一 30，2；

探究二

（1）由已知得M与P的距离为4，∴当MP⊥AB时，点P到AB的最大距离为4，从而点P到CD的最小距离为6-4=2.当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°。

（2）如图，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切点时，α达到最大，即OP⊥CD。此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH ∠OHM=30° 90°=120°。

如图，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD,α达到最小，连接MP，作OH⊥MP于点H，由垂径定理，得MH=3，在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH=，∴∠MOH=49°，∵α=2∠MOH，∴α最小值为98°。∴α的取值范围是98°≤α≤120°。

一、选择题

1．(2010江苏苏州)如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是

A．2 B．1 C． D．

【答案】：C

2．（2010甘肃兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为

A． B． C． D．

【答案】D

3．（2010山东青岛）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）．

A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交

【答案】B

4．（2010四川眉山）下列命题中，真命题是

A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形

C．圆的切线垂直于经过切点的半径

D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直

【答案】C

5．（2010台湾） 图(四)为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，

且与交于另一点D。若ÐA=70°，ÐB=60°，则 的度数为何？ (A) 50 (B) 60 (C) 100 (D) 120 。

【答案】C

6．（2010 嵊州市）如图,点B是线段AC的中点,过点C的直线与AC成60°的角,在直线上取一点,使∠APB=30°,则满足条件的点有几个 ( )

A.3个 B.2个 C.1个 D.不存在

【答案】B

7．（2010 浙江省温州）如图，在AABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙0与BC相切于点B，则AC等于(▲)

A． B． c．2 D．2

【答案】C

8．（2010 四川南充）如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（　　）．

（A）（B）若MN与⊙O相切，则（C）若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切（D）l1和l2的距离为2【答案】B

9．（2010 广东珠海）如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°,

那么∠AOB等于（ ）

A.60° B.90° C.120° D.150°

【答案】 D

10．（2010四川眉山）下列命题中，真命题是

A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形

C．圆的切线垂直于经过切点的半径

D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直

【答案】C

11．（2010湖南娄底）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆，一定（ ）

A.与x轴相切，与y轴相切 B.与x轴相切，与y轴相

C.与x轴相交，与y轴相切 D.与x轴相交，与y轴相

【答案】C

12．（2010内蒙赤峰）如图，⊙O的圆心到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是 （ ）

A．1 cm， B．2 cm， C．4cm， D．2 cm或4cm

【答案】D

二、填空题

1．（2010江苏南京） 如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为 cm。

【答案】8

2．（2010浙江杭州）如图, 已知△,，．是的中点，

⊙与AC，BC分别相切于点与点．点F是⊙与的一

个交点，连并延长交的延长线于点. 则 .

【答案】

3．（2010 浙江义乌）已知直线与⊙O相切，若圆心O到直线的距离是5，则⊙O的半径是 ▲ ．

【答案】5

4．（2010 重庆）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线的距离是4，则直线与⊙O的位置关是 ．

【答案】相离

5．（2010重庆市潼南县）如图，在矩形ABCD中，AB=6 ， BC=4， ⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是 .

【答案】相离

6．（2010浙江金华）如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点， 以O为圆心，以OE为半径画弧EF.P是上的一个动点，连

结OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O

的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G.

若，则BK﹦ ▲ .

【答案】,

7．（2010湖南怀化）如图6，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA=40°，则∠ADC= ．

【答案】

8．（2010山东泰安）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C,点D、E、F是⊙O上三个点，EF∥AB，

若EF=2，则∠EDC的度数为 。

【答案】30°

9．（2010河南）如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是异于点C、A的一点，若∠ABO=,则∠ADC的度数是 .

【答案】29°

10．（2010 湖北孝感）P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠APB=50°，

点C为⊙O上一点（不与A、B）重合，则∠ACB的度数为

。

【答案】

11．（2010 四川泸州）如图7,已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则⊙O的面积为__________.

【答案】

12．（2010 山东淄博）如图，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交直径AB的延长线于点C，下列四个条件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC＝R．其中,使得BC＝R的有

（A）①②　　

（B）①③④　　

（C）②③④　　

（D）①②③④

【答案】D

13．（2010青海西宁）如图2，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移 个单位时，它与轴相切.

【答案】116°

14．（2010广东茂名）如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径AB＝2，弦AC＝1，

则∠CAD＝ ．

【答案】30o

15．（2010广西百色）如图，⊙的直径为20，弦,，垂足为.

则沿射线方向平移 时可与⊙相切.

【答案】4

三、解答题

1．(2010江苏苏州) (本题满分9分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F

(1)求证：OE∥AB；

(2)求证：EH=AB；

(3)若，求的值．

【答案】

2．（2010安徽蚌埠）已知⊙过点（3，4）,点与点关于轴对称，过作⊙的切线交轴于点。

⑴ 求的值；

⑵ 如图，设⊙与轴正半轴交点为，点、是线段上的动点（与点不重合），连接并延长、交⊙于点、，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化，请说明理由。

【答案】

⑴

（2）试探索的大小怎样变化，请说明理由.

解：当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变

过点作于，并延长交于，连接，

交于。

因为为等腰三角形， ，

所以平分

所以弧BN=弧CN，所以，

所以

所以=

即当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变。

3．（2010安徽芜湖）（本小题满分12分）

如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧⌒(AB)上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．

（1）求证：PM＝PN；

（2）若BD＝4，PA＝ 2(3)AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

【答案】

4．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

（1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；

（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.

【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．

在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．

（2）∠ACB是定值.

理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，

因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，

因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；

（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴

＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．

∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.

∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，

∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．

又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，

∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，

∴△ABC的周长为．

5．（2010甘肃兰州）（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）求证：BC=AB；

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

【答案】

解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO

∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB

∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1分

∵AB是⊙O的直径

∴∠ACO ∠OCB=90° …………………………………………………2分

∴∠PCB ∠OCB=90°,即OC⊥CP …………………………………………3分

∵OC是⊙O的半径

∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………4分

（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P

∵∠COB=∠A ∠ACO,∠CBO=∠P ∠PCB

∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分

∴BC=OC

∴BC=AB ………………………………………………………6分

(3)连接MA,MB

∵点M是弧AB的中点

∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分

∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM

∵∠BMC=∠BMN

∴△MBN∽△MCB

∴

∴BM2=MC·MN ……………………8分

∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM

∴∠AMB=90°,AM=BM

∵AB=4 ∴BM= ………………………………………………………9分

∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………10分

6．（2010山东日照）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：

（1）D是BC的中点；

（2）△BEC∽△ADC；

（3）BC2=2AB·CE．

【答案】

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，

即AD是底边BC上的高． ………………………………………1分

又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，

∴D是BC的中点；………… ……………………………………………3分

(2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，

∴ ∠CBE=∠CAD．…………………………………………………5分

又∵ ∠BCE=∠ACD，

∴△BEC∽△ADC；…………………………………………………6分

（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，

即CD·BC=AC·CE． …………………………………………………8分

∵D是BC的中点，∴CD=BC．

又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE

即BC=2AB·CE．……………………………………………………10分

7．（2010山东烟台）（本题满分10分）

如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E。

（1）求证：DE⊥AC；

（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值。

【答案】

,