线性代数偏微分方程的意义(微分方程的意义)
本文既可作为老少皆宜的休闲文章来看,也可作为本科生速成期末考试的灵丹妙药(笑)
珍贵老照片:狄拉克和泡利
这次的内容很简单很简单,我就讲明白一个公式:
它的通解是:
诶呀,贼吓人,对吧,如果您是一位大学生,很可能需要把它背会才能通过考试。
首先提示一下, 强烈建议大家先阅读笔者之前讲微分方程的文章,以免看不懂。
话不多说,我们看一个例子:
如何求这个方程的通解呢?
我并不想让大家直接去算,我们以dy/dx(y')为高度轴,x和y(f(x))分别为变量建立一个三维坐标系,我想让大家体会一下微分方程为什么被称为微分方程
z轴的物理意义是导数,x,y轴各自独立变化
这个图反映的是导数y’和x,f(x)(y=f(x))之间的变化关系,然而y和x之间依然存在其它的内在联系。它只能解析一部分信息,甚至里面的很多信息并不存在。
大家看了之后,心中不由得感慨道:
“多么直观,多么奇妙的数学啊,可惜我曾经的老师只是计算,没能让我领略这般风景~”
我们把上面那个公式拿过来比对一下:
发现,p(x)=tan(x),q(x)=cos(x),二话不说,我们套进之前那个很长的算式里看看情况:
而:
所以原式化为:
我们简单算一下,可以知道:
因为C是任意的,所以我们就可以把这些C都耦合到一块儿去,变成一个常数C:
于是,我们算出了通解
这个函数是什么呢?简单给大家看一下吧:
事实上,我们给这种形式的方程起了一个名字:一阶非齐次线性方程;
如果q(x)=0,那一坨积分套积分就没有了,我们也给它起了个名字,一阶齐次线性方程:
齐次方程便简单了
一阶的意思是方程最高就一阶导,齐次这个概念太麻烦无需理睬,不理解不影响大家理解它的本质,线性的意思指量与量成比例,成直线关系。
我个人觉得,多了这些文字描述只会徒增烦恼,你觉得呢?
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