初中数学圆的概念例题解题技巧（圆知识的第一部分及例题详解）

初中圆的知识按教学侧重大体分三大部分，(一)圆的有关概念和性质;(二)与圆有关的位置关系;(三)圆的有关计算.本讲是第一部分.

第一部分，重点在几个定理和推论

1.垂径定理及其推论

定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

(4)在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等.

如果一条直线具备【①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦(非直径)，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧】中的任意两个性质，那么这条直线就具备另外三个性质，简称``知二推三".

2.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理:

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等.

正确理解为:在同圆或等圆中，①圆心角相等;②所对的弧相等;③所对的弦相等;④所对的弦心距相等.四项中，一项相等，其余三项皆相等，简称"知一推三“.

3，圓周角定理:

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

推论①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.简记为:"等角对等弧""等弧对等角".

②半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.简记为:"直径对直角"“直角对直径".

③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

这就是圆中第一部分的重要内容。垂径定理及其推论，提供了几种常见的辅助线

①过圆心作弦的垂线，得弦的中点及弦所对弧的中点.

②有弦的中点时，常连接过弦中点的半径，则该半径与弦垂直，且平分弦所对的弧.

③有弧中点时，常作过弧中点的半径，则该半径必垂直于弧所对的弦，且平分弦.

其中过圆心作弦的垂线(可以是直线，也可以是半径、直径，还可以是该弦的弦心距)，构造出垂径定理的基本图形，这条辅助线的功能还不只局限于产生垂径定理的推论，当我们连接弦的端点和圆心时，便出现了一个直角三角形，进而通过勾股定理或解直角三角形的其他方法求弦长、半径、直径、弦心距，甚至还可以求一些相关的角的度数、三角函数和证明比例线段的问题等等.

圆周角定理给出了同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，而在同圆或等圓中，圆心角、弧、弦、弦心距之间又有一定的关系，从而也就把圓周角、弧、弦、弦心距联系起来，这一点很重要.圆周角定理的推论为圆中证明两角相等，两条线段相等，两条弧相等提供了重要依据.

例1.如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为(一一)

A.7，B.7√2，C.8√2，D.9

【分析】由于AB的直径，能想到什么？

∠ACB的平分线交⊙O于D，又想到什么？怎样才能算出CD的长呢？噢，想到∠ACB是直角，想到∠ACD=∠BCD=45°，想到弧AD=弧BD，于是连接OD，则∠DOB=90°，若连接BD，则BD=OB√2=5√2，在△BCD中，又可知BC=8，还不能算出CD，那么再看条件有∠BCD=45°，必须会利用它，于是过B作BM⊥CD于M，如图

则在Rt△BMC中，BM=CM=4√2，这样在Rt△BMD中，可算出MD=3√2，于是，CD=CM MD=7√2，选B.

例2.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论:①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC;③CB平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF;⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是(一一)

A.②④⑤⑥，B.①③⑤⑥，C.②③⑤⑥，D①③④⑤

【分析】AB是直径，想到∠ADB=90°，所以AD⊥BD，①正确，又OC∥BD，所以OC⊥AD，所以AF=DF，④正确，又AO=BO，∴OF为△ABD的中位线，∴BD=2OF，⑤正确，又OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，根据OC∥BD，可得，∠OCB=∠CBD，∴∠OBC=∠CBD(即CB平分∠ABD，③正确.若∠AOC=∠AEC，则∠ABD=∠AEC=∠DEB=2∠DBE，则∠DBE=30°，∠DEB=60°，此时BE=2ED，CE=2EF，这只是一种特殊情况，当E是BC的中点，△CEF≌△BED，也是一种特殊情况，所以②⑥不一定正确，答案选D.

例3.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧AB等于弧AF，BF和AD交于E，求证:AE=BE

【分析】由于弧AB等于弧AF，所以连接AO，交BF于M，则OA⊥BF，又由于AD⊥BC，∴∠ADO=∠BMO=90°，而∠3，∠4都是∠AOB的余角，∴∠3=∠4，连接AB，由于OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠1=∠2，∴AE=BE.如图，

另，由于BC是直径，所以连接AC，AB，则∠BAC=90°，而AD⊥BC，则∠ADC=90°，∴∠C ∠3=∠2 ∠3=90°，∴∠C=∠2，由于弧AB等于弧AF，∠C=∠1，∴∠1=∠2，∴AE=BE，如图

另.由于BC是直径，AD⊥BC，所以补全图形，如图

则弧AB等于弧BN，由于弧AB等于弧AF，所以弧BN等于弧AF，所以∠1=∠2，所以AE=BE.

例4.如图，

在⊙O中，AB⊥CD，垂足为G，OE⊥BC，垂足为E，求证:OE=AD/2.

【分析】欲证OE=AD/2，想线段的倍比关系，有中位线定理，于是连接CO并延长交⊙O于M，连接BM，则∠CBM=90°，又OE⊥CB，则E为BC的中点，这样的辅助线CM，一箭双雕，所以说，直径在圆中的辅助线很重要，所以OE=BM/2，接下来只须证AD=BM，在圆中想到证弧AD等于弧BM，看图，∠D=∠1，∠A ∠D=90°，∠1十∠2=90°，∴∠A=∠2，∴弧DB等于弧AM，∴弧AD等于弧BM，∴OE=AD/2.如图

另，连接CO并延长交⊙O于F，连接AC，如图，

从图可知，∠F=∠CAB，又∠AGC=∠FBC=90°，∴∠ACD=∠FCB，∴弧AD等于弧FB，同样可证，OE=FB/2=AD/2.

例5.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD.

(1)求证:AE=BD;

(2)若AC⊥BC，求证:AD十BD=√2CD.

【分析】，由条件分析，欲证AE=BD，可证△ACE≌△BCD，由于AC=BC，∴∠1=∠2，由于CE=CD，∴∠E=∠3，又∠3=∠2(同弧上的圆周角相等)，∴∠ACB=∠ECD，∴∠4=∠5，可证△ACE≌△BCD，∴AE=BD.

第2问，如下图

由于AC⊥BC，∵∠ACB=∠ECD，∴∠ECD=90°，∴∠E=∠3=45°，∴DE=√2CD，又∵AD十BD=AD十AE=ED，∴AD BD=√2CD.

【总结反思】

以上所说的内容非常重要，圆周角相关题变化多端，要注意具体问题具体分析，灵活处理变化的问题。

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