帕斯卡定理解析几何例题（数学千禧难题之纳维-斯托克斯方程）

千禧年大奖难题是在世纪初，即2000年由美国克雷数学研究所提出的七大数学猜想，任何一个猜想的解决，只要发表在专业期刊上并经过两年的验证阶段，解决者就会获得一百万美元的奖励。

纳维斯托克斯方程就是其中之一。 在我们日常生活中，起伏的波浪，湍急的气流都会对我们的出行工具，飞机和轮船产生影响，数学家和物理学家认为论是风还是湍流，都可以通过求解纳维斯托克斯方程来解决，来对影响进行解释和预测。方程早是19世纪就完成了，但直到今天我们对它们的理解仍然有限。问题的难点在于对方程的数学理论作出实质性的解释，以探索隐藏在纳维斯托克斯方程中的奥秘。

纳维斯托克斯方程的矢量形式为：

写成分量形式

式中，△是拉普拉斯算子；ρ表示流体密度；p代表压力，u，v，w是流体在t时刻的速度分量。X，Y，Z是外力的分量；常数μ是动力粘性系数，纳维斯托克斯方程方程描述了粘性不可压缩流体流动的普遍规律，因而在流体力学中具有特殊意义。

粘性可压缩流体运动方程的形式为

其中方程内P表示流体应力张量，l为单位张量；S代表变形速率张量，方程的分量形式为：

其中μ为膨胀粘性系统，一般μ=0。若流体是均质和不可压缩的，μ=常数.▽·v=0，此时方程（3）可简化成纳维斯托克斯方程（1）和（2）。如果我们再忽略流体粘性，则（1）就变成通常的欧拉方程：

即无粘流体运动方程。

从理论上来说，我们有了包括纳维斯托克斯方程，只要再加上一定的初始条件和合适的边界条件，我们就可以确定流体的流动。但是由于纳维斯托克斯方程比欧拉方程多了一个二阶导数项μ▽v，因此变得更为复杂，除在一些特定条件下，很难求出纳维斯托克斯方程的精确解。