二项式定理公式怎么来的？二项式公式---贾宪三角

《这篇文章适合三年级及以上的, 懂得代数运算的学生及学生家长，小学教师，中学老师； 任何童心未泯的老儿童，青壮年》。

由于众所不知的原因，数学里用中国人名冠名的定理和规律少之又少。这里我们来讲一个值得我们骄傲的，由中国人首先发现的规律：二项式公式的贾宪三角。

何为贾宪三角？ 在讲这个规律之前，让我们先简略回顾一下历史。我们这个年纪的人在中学课本上读到和学到的是另一个名字：杨辉三角，大概源于我国著名的数学家华罗庚先生在上世纪50年代写给中学生的一本小册子《从杨辉三角谈起》。我把里面的前言摘录如下。

华罗庚先生《从杨辉三角谈起》的前言

显然，华老也注意到杨辉是从贾宪的《释锁算术》（大约1050年）里学到的规律，只是华老以为贾宪的《释锁算术》文献丢失了，无处查证。因此他把二项式公式系数的规律称作杨辉三角。感谢我们现在有强大的搜索引擎，从维基百科里知道：贾宪的三角表图和文字描写并未遗失，而是保存在大英博物馆所藏《永乐大典》卷一万六千三百四十四。所以，我觉得这个二项式公式系数的规律应该叫做贾宪三角。虽然在西方贾宪三角常被称作帕斯卡三角(Pascal Triangle), 但法国数学家帕斯卡的发现要晚了600年左右。

我们来看贾宪三角说的是什么。在诸子数学代数入门的讲座里，我们比较了多项式乘法与十进制数乘法的相似性。把多项式看成一个x进制的数，那么(x 1)×(x 1)所得的系数为1（x的平方的系数）， 2（x的系数）及1（常数）。它与11×11所得数1（10的平方的系数）， 2（10的系数），1（个位数）事实上是一样的。

我们也可以用竖式来做乘法运算。比较(x 1)的平方乘以(x 1)与11的平方乘以11 (也就是(x 1)的立方与11的立方的比较)：

121×11很容易算：就是1210 121。所以：第一个数是1，第二个数是121的第一个数加第二个数=3，第三个数是121的第二个数加第三个数=3，最后一位数是1，从而得1331。这四个数也是(x 1)的三次方的各项系数。

同样我们可以继续算11的三次方×11得到(x 1)的四次方的各项系数。

在诸子数学的代数讲座中，我们也提到多项式乘法与十进制数的乘法的不同之处。那就是：x进制数的系数相加是不进位的。我们可以想象下面的计算。

用贾宪三角很容易描述二项式公式的系数关系

贾宪三角的规律也可以用组合数来表示，并用数学归纳法来严格证明。遗憾的是，这些系统的，逻辑严密的论证方法在中国古代的文献中鲜有出现。但无论如何贾宪的图标显然有益于大家牢记(x 1)的n次方这个二项式展开公式。我们也应该把这个科学贡献归功于更可能的原创者贾宪，而不是杨辉。