奥数世界杯赛程（IMO国际奥数竞赛题）

（撰文：小留洋•Yvonne）

IMO，International Mathematical Olympiad，国际奥林匹克数学竞赛是数学竞赛赛道上最璀璨的明珠了，是最高竞赛奖项。

但它也不是我们高攀不起的，有些题只要认真琢磨，就能发现解谜线索，在这过程中你会感觉到自己像柯南，像福尔摩斯，像侦探️‍♀️在探案，那种揭秘的乐趣只有体验了才知道有多爽。

来道考古题，1959年IMO第二天第4题。

Construct a right triangle with a given hypotenuse c such that the median drawn to the hypotenuse is the geometric mean of the two legs of the triangle.

用给定的斜边c构造一个直角三角形，使得到斜边的中线长度是三角形两条边边长的几何平均值。

给定斜边做一个直角三角形，要画一条从顶点到斜边的中线，还要知道几何平均值。回想一下脑子里的基础知识。①圆的直径对应的圆周角是直角，放一边备用；②取一边中点，连接对侧的顶点就是中线，也不难，等会儿画；③几何平均值就是2个数的乘积开平方。

根据已有信息，我们先把斜边c画上，考虑直角三角形的那个直角顶点可能在什么地方。观察下图。红色C点在圆上，△ABC一定是直角三角形。

再把到斜边c的中线画出来，以便观察。

还不足以确定C点的具体位置，继续探索。

还有一个关键信息没用上，中线长度是a和b两个直角边的几何平均值。CO=√(a•b). 我们列公式观察几个变量的关系。中线CO也是半径，c是直径，所以CO=c/2。根据勾股定理，a² b²=c²。

代换变形都用上，看看能得到什么有用信息。

有点意思了，也就是说，只要能构造出一个c线段√3/2倍长的线段，我们就构造出了a b，就是相当于把a和b两条线段拼接在一起了。

我们再从预期的结论往前推看看有什么线索。看上图，假定图已经做出来了，将AC延长至D，CD长度等于a，那么AD就是a b，可知，CDB是等腰直角三角形，∠D是45°。

好像差不多了，如果AD也就是a b这条线段已经得到，线段c也是已知的，我们在D点做一个45度角，以A为圆心c为半径做圆，与45度角的射线交于B，再从B做一条垂线垂直于AD，垂足是C，这样三角形ABC就得到了。

至于如何得到√3/2c长的线段，我们下面有个图，大家自己琢磨一下，我们在讲做鹦鹉螺曲线的文章里讲过。

绘制a b线段，也就是√(3/2)c长度的线段。

以D为顶点做45度角，做射线。

以A为圆心，c为半径做圆，交射线于B。

过B点做AD的垂线，垂足是C点，连接ABC，完成作图。

还有没有其他方法？做三角形的高h观察。利用相似三角形做变化，得到高h为c/4。知道高，C点又在圆上，作图可以更简单。

做c/4线段

做斜边c的平行线，距离c/4

以斜边c为直径做圆，交平行线于点C

连接ABC，作图完成。

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