数的整除趣味介绍（算数中的整除规律）

小学的时候有被迫上过奥数课吗？出来混呢，迟早都是要还的。

这不，在GRE的数学考试中有一部分考点属于小学奥数的知识点，这类题对于没有学过奥数或者已经遗忘奥数知识的同学来讲就是 一个字：难；两个字：不会。

比如算数中的整除规律。一个数字除以4能整除吗？余数是多少怎么求能快一点？除以3呢？又或者除以8呢？

这些规律你都需要牢牢记住：

若一个整数的末位是偶数（0、2、4、6或8），则这个数能被2整除；

若一个整数的数字和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除；

若一个整数的末尾两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除；

若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除；

若一个整数的未尾三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。

来个例子~

A three-digit integer is formed by three numbers 7, 1, and 2, and each number can be used more than once.

Quantity A: the probability that the three-digit integer is divisible by 4

Quantity B: 7/27

【解析】

这个题涉及到了概率问题以及整除的问题。

该三位数要能整除4，那么末两位一定是4的倍数，因此个位必须是2，十位可以是1或者7，因为12和72都能被4整除，而22则不行。

因此末两位共两种可能。百位可以是7、1或者2中的任何一个，因此一共有6个数字是4的倍数，分别为712、772、112、172、212和272。

解决完整除的问题还有概率的问题，因为每数字都能重复使用，所以每个digit上都是三种选择，所有组成的三位数共3*3*3 = 27种可能。

因此，能被4整除的概率=6/27，比7/27小，选择B。

再比如在课上我们经常会说到的一个例子：

Quantity A: the remainder when 12345678910 is divided by 9

Quantity B: 1

很多同学看到这个题第一个想法是：我能用计算器除吗？

当然不行。考场的计算器最多只能显示8位数，这个已经溢出错误啦！如果你不知道除以9的规律，那么你就只能列竖式计算了，只不过当你算完了别人已经把3道题都做了。

求一个数字除以9的余数同样按照整除的规律来判断（整除就相当于余数为0），把被除数的各个数位数字加起来除以9，如果能整除，则该数字能被9整除；如果有余数，则该余数就是这个数字除以9的余数。

所以我们只需要把12345678910的所有数位数字加起来除以9看余数是多少就好啦！

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0)/9 = 5…… 1

余数是1，

所以Quantity A = Quantity B = 1，选择C。

掌握这些规律了吗？看看下面这个题的余数是多少？