数量关系解题公式（数量关系解题技巧）

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图片来源｜网络

1.计算类几何题解题技巧：「公式法」

2.例题1：复杂描述的简单转化

3.例题2：相似三角形的特点

4.例题3：投影定理与球体的特性

5.例题4：结合选项反推的技巧

6.例题5：对棱锥体积公式的考察

「数量关系」中的几何类题目有两类，一类数据非常简单，但需要通过思考找到隐藏的条件，才能解出正确答案，可称之为「推理类几何题」；另一类数据较为复杂，解题过程需要大量计算和对相关几何公式的掌握，可称之为「计算类几何题」。

本文讲的是「计算类几何题」的解题技巧。

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一、计算类几何题解题技巧：「公式法」

行测中「计算类几何题」的解题技巧非常简单，都可以分为两步：

①简化题干叙述的条件，建立最简单的几何模型

②使用对应的公式进行计算

其中①的步骤非常简单，毕竟「数量关系」不会考察言语理解能力，数字描述是没有歧义的，关键是第二步。

行测中几何题考察的公式很多，最常见的就是勾股定理和面积/体积计算公式，除此之外还有sin、cos、tan的值、相似三角形、球的投影公式等，没有特定的限制。

大家在备考时，一定要整理总结一下义务教育阶段所学的相关计算公式，并尝试提升自己的计算速度，降低错误率。严格来说，此类题目的难度很低，但如果记不住公式或者计算效率不够快，也会导致错误率变高或者没有时间去做。

行测中不会考察难度特别高的公式，更倾向于测试考生的计算能力。

二、例题1：复杂描述的简单转化

【2018国考省级卷71题】一艘非法渔船作业时发现其正右方有海上执法船，于是沿下图所示方向左转30°后，立即以15节（1节=1海里/小时）的速度逃跑，同时执法船沿某一直线方向匀速追赶，并正好在某一点追上。

已知渔船在被追上前逃跑的距离刚好与其发现执法船时与执法船的距离相同，则执法船的速度为多少节？

（A）20

（B）30

（C）10√3

（D）15√3

已知渔船在被追上前逃跑的距离刚好与其发现执法船时与执法船的距离相同，则执法船的速度为多少节？

（A）20

（B）30

（C）10√3

（D）15√3

正确率30%，易错项C

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题干数据关系在图片中基本标出。由最后一句话可知，渔船被发现点距离渔船被追上点和执法船初始点的距离相同。

根据「正右方」和「左转30°」可知，两船各自的初始点和相遇的最终点，可形成一个大角为90° 30°=120°的钝角等腰三角形，执法船行驶距离为三角形长边，作图如下：

由O向AB作垂线，交点为C，此时AB=2AC。

由于sin30°=1/2，即OB=2OC，根据勾股定理可知：

BC=√3/2OB，AB=2BC=√3OB。

距离=速度×时间，且执法船和非法渔船的行驶时间相同，因此两者速度比例相同，即：

执法船速度=√3非法渔船速度=15√3，D选项正确。

说下题外话：本题的选材是「海上执法船」和「非法渔船」，体现了近年来公考强调的「多学科、多考点结合」的新趋势，值得注意。结合近年来中国海上力量的建设和对渔业资源的保护力度，这道题充满了正能量。

或许2019国考中会考察「我国近年来新型渔政船的特点」或者「渔业保护力度加强的措施有」等内容，大家有兴趣可以关注一下。

本题需要理解的点包括：

「正东方」→非法渔船最初行驶方向和其与执法船的交点为直角

「逃跑距离=最初两者距离」→等腰三角形

「同一时间行动至追上」→时间相同，因此速度比例=距离比例

这道题错误率高的最主要原因是上述点都需要尽快理清，在时间紧张的情况下，很多考生选择了放弃。只要能够明白本题要表达的意思，就很容易确定这是一道求钝角等腰三角形长边的题。

三、例题2：相似三角形的特点

【2017国考地市级卷67题／ 省级卷69题】一块种植花卉的矩形土地如下图所示：AD边长是AB的2倍，E是CD的中点，甲、乙、丙、丁、戊区域分别种植白花、红花、黄花、紫花、白花。

种植白花的面积占矩形土地面积的比例为（ ）

（A）3/4

（B）2/3

（C）7/12

（D）1/2

种植白花的面积占矩形土地面积的比例为（ ）

（A）3/4

（B）2/3

（C）7/12

（D）1/2

正确率56%，易错项B

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本题最简洁的解题思路是赋值。给DE赋值后，便可以很快求出⊿BEC的面积为与矩形土地的面积，得出解题重点为求⊿ABO的面积。

在已知⊿ABO 和⊿DEO相似的情况下，通过AB：DE的长度为2:1，得出以AB和DE为底边，以O向两者做垂线段的长度为高也具有2:1的对应关系，根据矩形边长即可得出O点到AB的长度，从而算出⊿ABO的面积。

设DE和EC长度为1，则：

DC=AB=2，AD=BC=4。

种植白花的为甲和戊，即⊿ABO和⊿BEC，可得：

⊿BEC=1×4÷2=2，矩形=4×2=8

所占比例=（⊿BEC ⊿ABO）/矩形

=（2 ⊿ABO）/8

⊿ABO和⊿DEO中，由于BD为矩形ABCD的对角线，可得∠ABO=∠ODE，同时∠AOB=∠DOE，

→⊿ABO和⊿DEO三个角角度相等，两个三角形相似

已知AB：DE=2:1，相似三角形三边比例相同，即：

由O点到AB和到DE两点的垂线（即三角形的高）之比也是2:1

由于两者之和=矩形的边长=4，且O点到AB的垂线长度占3份中的2份，可得：

⊿ABO的高=4×2/3=8/3

→⊿ABO的面积为2×8/3÷2=8/3，

→甲和戊之和为2 8/3=14/3

所占比例=（2 8/3）/8=14/3÷8=7/12，C选项正确。

本题主要考察了「相似三角形」这个考点。相似三角形是三角分别相等，三边成比例的两个三角形，即本题中的⊿ABO和⊿DEO，通过比例关系可算出对应的面积。如果没有掌握相似三角形的原理，那么这道题基本没有办法解出。

四、例题3：投影定理与球体的特性

【2017国考地市级卷70题／ 省级卷75题】某次军事演习中，一架无人机停在空中对三个地面目标点进行侦察。已知三个目标点在地面上的连线构成直角三角形，两个点之间的最远距离为600米。

无人机与三个点同时保持500米距离时，其飞行高度为多少米？

（A）300

（B）400

（C）500

（D）600

无人机与三个点同时保持500米距离时，其飞行高度为多少米？

（A）300

（B）400

（C）500

（D）600

正确率40%，易错项A

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设地面3点为ABC，列出题干数据关系：

①地面ABC连线为直角三角形，∠ABC为直角

②AC之间距离为600m

③空中无人机距ABC均为500m，求无人机高度

由①③可知，飞机是一个点，地面是一个面，点到面上三个点的距离相同。

如果对投影知识有了解的同学，可以快速判断出该点到平面的投影距离三个点相同，设飞机投影为O点，可得：

根据「圆上任意一点到圆直径两点所成的角都是直角」的定理可知，该投影点就在以AC为直径的圆上，即：

O为AC中点

OA=OC=600÷2=300m

根据③可知和勾股定理可知，飞机到O点的投影距离（也就是飞机的高度）为：√500²-300²=400m，B选项正确。

那么问题来了：忘记投影定理（毕竟该定理比较冷门）的小伙伴们要怎么办呢？有一种辅助的解法，即利用球体的特性。

还是设一个直角三角形ABC，设飞机为D，由于D点距离ABC三点相同，所以可以设一个以D为球心的球，ABC即为球上三点，形成一个截面。

飞机的高度即为D点到截面的垂直距离。由上文解析可推得ABC可以形成一个以AC为直径的圆，而球心到截面圆心的线段必然垂直于该圆，即为飞机高度。

圆的半径为600÷2=300m，球的半径为500m，根据勾股定理可求得球心到截面圆心的线段为400m，B选项正确。

本题数据看似简单，但涉及到数量关系题的「大杀器」——空间想象。空间想象题在「数量关系」中的地位和抒情散文题在「言语理解」与表达中差不多，基本上一出马就能把大半考生杀的人仰马翻，所以这种「大杀器」一般来说一次考试也不会出太多……

做题时一定要运动起自己的大脑，思索一切可能的解题方法，不要轻易放弃。

五、例题4：结合选项反推的技巧

【2016国考省级卷75题】将一个8厘米×8厘米×1厘米的白色长方体木块的外表面涂上黑色颜料，然后将其切成64个棱长1厘米的小正方体，再用这些小正方体堆成棱长4厘米的大正方体，且使黑色的面向外露的面积要尽量大。

大正方体的表面上有多少平方厘米是黑色的？

（A）84

（B）88

（C）92

（D）96

大正方体的表面上有多少平方厘米是黑色的？

（A）84

（B）88

（C）92

（D）96

正确率36%，易错项C

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列出题干数据关系：

①8×8×1的长方体涂黑、切方块

②4×4×4的正方体由①堆成

③要求正方体外露黑色面积最大

本题看似需要逐个考虑如何由①来堆成②，但这种方法是不太合适的，原因在于这种思路没有结合选项去考虑。

可直接心算出正方体表面积=4×4×6=96，而4个选项分别为84~96，也就是说：

假设正方体表面全涂黑，该数据和正确选项的差为12~0，即绝大部分方块满足「黑面朝外」的要求

因此，本题应当「反推」，即考虑「不能黑面朝外的方块有几个，共有几个面」，这样才是简洁正确的思路。列出长方体和正方体方块的种类及数量：

长方体：

4面黑→4顶点→1×4=4

3面黑→4条棱→6×4=24

2面黑→1个面→6×6=36

其中：

「3面黑」中有2个面相对

「2面黑」中2个面相对

正方体：

3面黑→8顶点→1×8=8

2面黑→12条棱→2×12=24

1面黑→6个面→2×2×6=24

0面黑→在内部→2×2×2=8

其中：

「2面黑」中2个面相邻

尝试将长方体的黑面组合入正方体中，可发现如下规律：

长方体4个「4面黑」顶点方块可抵消正方体4个「3面黑」顶点方块，还有4个「3面黑」的缺口。

长方体24个「3面黑」棱方块中有2个面相对，即有1个面无法利用，可视为24个「2面黑」方块，恰好可抵消正方体24个「2面黑」棱方块。

长方体36个「2面黑」面方块中有2个面相对，即有1个面无法利用，可视为36个「1面黑」方块，可抵消正方体24个「1面黑」 面方块和8个「0面黑」内部方块，还余下4个「2面黑（可视为1面黑）」方块。

此时，将4个「2面黑（可视为1面黑）」方块拼入4个「3面黑」方块的顶点，每个方块有2个面白色朝外，即共有2×4=8的面积为白色，结果为96-8=88，B选项正确。

本题非常经典，难度也非常高。一般的「立体几何」类题目通过纸笔勾勒就很容易找到解题思路（如果找不到，一般也做不出来），然而本题不行。

这道题方块黑面的种类和数量相当复杂，如果逐个思考「堆积」的方式，是很容易浪费大量时间确劳而无功的。解题核心就在于「反推」，即结合选项来快速发现绝大部分方块都能做到「黑面朝外」，因此只要假设正方体所有面均为黑，尽量多地用长方体的黑面去「抵消」，本题就迎刃而解了。

如果黑面只有十几、二十几个，就要考虑从「顺推」入手了。

六、例题5：对棱锥体积公式的考察

【2012国考80题】连接正方体每个面的中心构成一个正八面体(如下图所示)：

已知正方体的边长为6厘米，问正八面体的体积为多少立方厘米?

（A）18√2

（B）24√2

（C）36

（D）72

已知正方体的边长为6厘米，问正八面体的体积为多少立方厘米?

（A）18√2

（B）24√2

（C）36

（D）72

正确率52%，易错项D

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本题非常简单，但需要考生记住棱锥的计算公式。

把正八面体横向「劈开」，可分成上下两个四棱锥，棱锥的体积公式为：

V=1/3Sh，S为底面积，h为高

显然S棱锥=1/2S正方体，如图：

h棱锥=h半个正方体，因此：

V四棱锥=1/3×1/2S正方体×h半个正方体

=1/3×1/2×（6×6）×3

=18

V正八面体=2V四棱锥=2×18=36，C选项正确。

本题考察的是考生对公式的理解和记忆，如果完全没有印象，那么这道题是做不出来的。

初中几何基础的掌握程度，也是公考的考察对象。

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