三角形的内切圆与三角形面积(三角形三边与外接圆R和三角形面积的关系)
三角形三边与外接圆R的关系
若S是三角形ABC的面积,三角形的外接圆半径为R, 三边长分别是a, b, c, 证明
4RS=abc
证明:如图,让AD经过圆心,成为直径,连接BD,做高AH,
由于在直角三角形ABD和直角三角形AHC中有:
∠ADB=∠ACH,(都对应相同的弧AB)因此有
△ADB与△ACH相似,
所以有比例关系:
AH/AC=AB/AD
即2R·AH=AC·AB,
两边同时乘以BC,
2R·AH·BC=AC·AB·BC, 而AH·BC=2S, 所以:
4RS=abc
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