论行星核心稳定分层层中的指法对流（论行星核心稳定分层层中的指法对流）

文|煮酒

图|煮酒

行星磁场由发电机作用维持，这是一个将动能转化为磁能的过程。这个过程被认为主要由对流驱动，发生在流体核心中。这里的“核心”是指行星的导电流体层，即类地行星的液态铁核，气态巨行星的金属氢层和冰巨行星的冰层。在一些行星中，核心上部区域的密度梯度可能对标准倾覆对流保持稳定（即，该区域较轻的流体覆盖较重的流体）。

因此，在这种配置中，稳定分层的层将围绕对流发电机区域，这将对在表面观察到的磁场产生深远的影响。事实上，稳定的密度梯度通常被认为会抑制垂直运动，因此从更深处扩散通过稳定顶层的磁场将受到电磁趋肤效应和差分旋转的过滤，这分别抑制了快速波动和非轴对称场.这种“稳定的顶层情景”通常用于解释水星和土星不寻常的表面磁场，这些磁场是非常轴对称的，以及木卫三，其四极矩异常低。这种情况也应用于地球核心的背景下，其中稳定顶层的存在存在争议，地磁观测用于对稳定层的厚度和分层提供约束。

指法对流依赖于扩散过程，因此手指出现在小尺度上。然而，小尺度的手指可以通过增强局部湍流磁扩散或诱导磁场来影响通过稳定顶层的磁场。此外，指法对流会产生较大的密度波动，导致在更大尺度上发生二次不稳定性。这些是非常有趣的，因为它们可以产生更强的磁感应效应。与指法对流相关的最著名的大规模结构之一是热成分阶梯：这些是由分层界面隔开的持久良好混合层，可以在很远的距离上相干。

在海洋中，在温度盐双扩散系统中观察到了著名的温盐楼梯。然而，表明，导致楼梯形成的主要机制在低Prandtl数（Pr，流体粘度与热扩散率的比率）下无效，这是与恒星内部和行星核心相关的情况（而海洋有Pr ≳ 1）。尽管如此，Brown等人发现，对于非常弱的分层层（即，当密度比接近单位时，如下定义），楼梯在参数空间的有限范围内形成。因此，楼梯与行星核心的相关性可能有限，但这显然需要调查。

在存在旋转的情况下，最近在平面指法对流中以涡旋的形式观察到其他有趣的大规模结构，类似于在湍流旋转对流中观察到的大尺度涡流。DDC的大多数研究都考虑局部平面域，其中大尺度流动受到计算箱尺寸的限制，因此这些流动的饱和大小和振幅是未知的，只能在全局球形几何中确定。在这项工作中，我们考虑了球面几何和旋转的综合效应。我们对大规模流动和全球环流（如差速旋转）的形成特别感兴趣。

DDC很难用数字方式建模，因为它需要对扩散系数（粘度ν，热扩散系数κt和成分扩散率 κc）具有非常不同的值，因此需要计算各种时间和长度尺度。在行星核心中，κt > ν > κc，（这个比率通常被称为刘易斯数Le）和Braginsky & Roberts）。

在翻转对流的数值模拟中，这些扩散率通常设置为相同，并且成分和温度场组合在一个共密度变量中（Braginsky&Roberts）。协密度简化可以缩短建模的尺度范围，并且只求解协密度变量的一个演化方程，从而减少计算负载。，但所有这些研究都考虑了“头重脚轻”的构型（即密度梯度对翻转对流不稳定）。

在DDC中，共密度简化显然是不可能的，因为不同的扩散系数值对于DDC过程至关重要。如本文后面所述，指法对流不稳定的背景密度梯度范围随着Le的增加而增加，因此预计该范围将在行星核心中广泛存在，我们必须考虑Le ≫ 1的值。此外，稳定层中的背景密度梯度对于任何行星都是高度不确定的，因此我们需要进行广泛的参数调查以确定其对动力学的影响。因此，为了适应计算限制，我们的研究只关注稳定顶层的动力学，忽略了来自深层对流层的穿透对流和对流过冲。在本文中，我们考虑了一个厚厚的“类水银”稳定层，厚度为核心半径ro（即约800公里）。

大多数模拟是在 Ek = 10 下进行的−5，在 Ek = 10 处进行一些额外的模拟−4和 ek = 10−6以评估改变旋转速率的效果。为了降低参数空间中的自由度，我们的研究主要集中在对应于Rat= −Rac/3（即 Rρ(r我) = 勒/3）。此外，我们还在固定Rat (拉t= −4 × 107） 研究流动对密度比的依赖性，如 Rρ(r我） 从 1 到 Le 不等。

图 3 显示了我们的模拟在参数空间中的位置 |拉t|− Rac对于 ek = {10−4, 10−5, 10−6}.十字架代表动能衰减的情况;圆圈表示动能最初增长（在施加小振幅的初始条件后）并随后饱和的情况。蓝色区域对应于根据公式，域底部可能容易出现指法不稳定的参数范围。我们发现Ra的最小值c指法对流起始点为 8 × 105对于 Ek = 10−4和 6 × 106对于 Ek = 10−5.这些值可以与翻转成分对流的开始进行比较（即，在Rat= 0），我们发现它位于 Rac≈ 8.8 × 105对于 Ek = 10−4和拉c≈ 2.1 × 107对于 Ek = 10−5。

因此，指法对流开始较早（即，在较小的Rac）而不是推翻成分对流，特别是在小埃克，与蒙维尔等人（2019 年）和马瑟和西米捷夫 的结果一致这意味着在低瑞利数下旋转指法对流的开始与粘度无关。在这里，我们找到了最小Ra的类似缩放比例c，虽然指数略小（大约 −0.9），但更适合我们的数据，这意味着在 Ek = {10−5, 10−4}仍然不完全处无粘状态中。

u 的等值面s对于 Ek = 10−5， Rat= −Rac/3和变化的Rac.接近发病时，对于 Rac= 2 × 107，指法对流采用与旋转轴对齐的细长柱的形式，方位长度与层宽度相当。柱子位于切线圆柱 （TC） 外部。该快照是在t = 140时拍摄的，其中主要方位波数为m = 2。主波数在饱和阶段变化。为了说明这些变化，图5显示了本次仿真的动能的时间序列。这种情况非常接近发病，因此不稳定的生长速度缓慢，动能在大约 10 个粘性时间尺度后饱和。饱和后，主导模式最初为m = 6，但在动能逐步增加期间逐渐降低，直到m = 1成为首选模式。

对于拉c≥ 1.2 × 108，柱的方位尺寸变小，并随着Ra的增加而明显减小c.这些结构在 s 方向上拉长并且相当 z 不变，因此它们看起来更像片状而不是手指状。然而，我们将这些结构称为“手指”，因为它们对应于非旋转平面指法对流的手指。由于快速的背景旋转，沿旋转轴的流动不变性是由普鲁德曼-泰勒约束施加的。在赤道平面中，手指出现在下边界附近，其中 Rρ最小，但是，当它们沿z轴延伸时，它们会穿过较大R的区域ρ（即较弱的背景构图梯度）一直到外部边界，其中 Rρ→∞。

在小瑞利数下，指法对流开始附近偏爱大尺度模式，随后，对较大瑞利数较小方位尺寸的手指的偏好与在非旋转平面几何中获得的结果一致。在这种几何形状中，具有与层深度相当的水平尺寸的细胞在关键开始时是优选的，但对于大瑞利数，较小的手指具有最大的生长速率。宽手指的径向速度必须很小，因为它们的温度扰动扩散很慢。在较大的瑞利数下，细手指是首选，因为手指之间的热扩散速度越快，背景成分梯度中势能的释放就越好。

手指出现在TC内部，其结构与Ra处TC外部的手指相似c= 1.2 × 109.TC内部浮力不稳定的延迟开始也是标准倾覆对流中一个众所周知的特征。当重力方向和旋转轴对齐时，旋转对浮力不稳定性的抑制作用更强，因此需要更强的成分瑞利数才能在TC内部对流开始。可以观察到TC内部指法对流的开始，它显示了径向速度u 的赤道和经向截面r对于两个不同的 Rac.在这两种情况下，手指都延伸到大约稳定半径 rs（其中 Rρ = 乐）在赤道平面，超过赤道平面，弱背景成分梯度无法维持指法对流。

然而，在高纬度地区，柱状气流穿过区域r > rs，振幅随高度的增加而减小。对于拉c= 8 × 108，指法主要发生在TC外部，但在TC的内侧有一些活动。在较大的Rac，指法对流发生在TC内部的所有纬度。而当Rac增加，速度在 TC 内保持 z 不变的程度。唯一没有明显径向速度的区域是最外层的赤道区域，其中 r > r s.除了大 Rρ，那里的外边界斜率很大，因此柱状流向内或向外移动产生的涡流拉伸抑制了流动。

动力学螺旋度通常被认为是产生大规模磁场的基本成分，尽管这个想法是有争议的。 在这里，我们可以比较指对流产生的螺旋度与标准倾覆对流产生的螺旋度的分布，其发电机特性已被广泛研究。显示了三种不同Ra的轴对称（即方位平均）动力学螺旋度的经向横截面c.在所有情况下，螺旋度都是赤道反对称的（在北半球主要是负的），就像旋转球面倾覆对流的情况一样。这种反对称性来自速度和涡度的相反对称性（例如，ur赤道对称，但 ωr是赤道反对称的）。

对于拉c= 2 × 107，其中指法对流由大尺度模式组成，螺旋度被限制在TC上的非常薄的层中。在较大的Rac，其中指法对流采用薄片状结构的形式，螺旋度在层内分布更广泛，并遵循指法对流的位置：对于 Rac= 3.6 × 108，螺旋度仅存在于TC之外，而它占据了Ra的所有纬度c= 1.2 × 109.在这种情况下，在TC内部的下北部（南部）区域会出现一层正（负）螺旋度，因为流动在向内/向外移动时会改变其螺旋方向（这也发生在旋转倾覆对流中。由于背景温度和成分梯度取决于半径，因此符号变化不会发生在层的中半径处，就像在具有恒定背景梯度的Boussinesq系统中所预期的那样。总体而言，在大瑞利数下指法对流的螺旋度分布与翻转对流产生的螺旋度分布非常相似。

本文介绍了DDC在旋转球壳中的数值模拟，该球壳模拟了位于行星核心顶部的稳定分层层。我们研究了类水星层的情况，其中温度梯度稳定，成分梯度不稳定，层厚度为外核半径的40%。指法对流以与旋转轴对齐的柱状流的形式发展。对于小的成分和热瑞利数，径向流具有较大的方位长度，如以前的研究报告。对于较大的瑞利数，径向流具有片状结构，该结构在经向方向上拉长，方位长度小。

密度比的径向变化，穿过层导致流动中的一些可见变化;值得注意的是，径向流的振幅向岩心-地幔边界衰减，因为那里的密度比最强，方位长度随半径线性变化。我们发现平均方位角长度遵循非旋转平面指法对流预期的缩放定律，随温度分层而变化。对于具有热扩散率和粘度的典型核心值的热分层，我们获得了大约 1 m 的典型方位角长度。对于与行星核心相关的小普朗特数，基于手指径向速度和方位长度的局部雷诺数始终保持 1-10 级。因此，大瑞利数的指法对流是小尺度和层流的。这意味着在流动尺度上产生的磁场的磁雷诺数很小（Rmℓ = Up升/η ≈ 10−6).然而，这并不排除发电机行动。

事实上，在系统尺寸下产生的磁场的磁雷诺数（如公式所定义）可以达到很大的值，这可能允许维持系统尺寸的磁场，就像旋转标准翻转对流模型一样。指法对流的发电机特性只能通过磁流体动力学模拟完全确定，我们推迟到以后的研究。

行星核心稳定层中的DDC仍然是一个相对未开发的领域。DDC与磁场的相互作用对行星磁性具有相当大的兴趣。除了考虑发电机特性和外部极性磁场的轴对称外，还应检查磁场对DDC的反馈。在存在稳定顶层（没有双扩散效应）的发电机模拟中，发现环形场存储在稳定层中，因此双扩散流与极形和环形磁场的相互作用是相关的。由标准翻转对流驱动的发电机和磁对流计算的许多研究表明，磁场对流的影响很大，特别是流动长度尺度的增加。然而，磁场对指法对流的影响可能非常不同，特别是因为手指大小受到热扩散的限制。

与潜在对流的相互作用也非常令人感兴趣。对流过冲和来自底层对流层的渗透可能会影响稳定层中的流动，主要取决于分层。孤立地研究稳定层的动力学有助于更好地理解该系统的长度尺度和时间尺度，因此对于未来整个核心的耦合双扩散模型应该非常有用。

参考文献：

Anderson, B. J., Johnson, C. L., Korth, H., Winslow, R. M., Borovsky, J. E., Purucker, M. E., et al. (2012). Low-degree structure in Mercury’s planetary magnetic field. Journal of Geophysical Research, 117(E12).

Aubert, J. (2005). Steady zonal flows in spherical shell dynamos. Journal of Fluid Mechanics, 542, 53– 67.

Aurnou, J. M., & King, E. M. (2017). The cross-over to magnetostrophic convection in planetary dynamo systems. Proceedings of the Royal Society of London: Series A, Mathematical and Physical Sciences, 473(2199), 20160731.