集合悖论举例（第三次数学危机）

前面我们已经讲过第一次数学危机和第二次数学危机，其中第一次数学危机是由无理数引发的实数危机；第二次数学危机，则是一场由无穷小量引发的，关于微积分的存在基础是否坚实的危机。

这两次危机最后都得到了圆满的解决，两次危机都大大提高了人类的数学认知水平，人类也因此受益无穷。今天，我们就讲一下第三次数学危机，这次数学危机到现在也没有被彻底解决。

关于第三次数学危机，要从数学家罗素的一个悖论开始讲起。悖论不是谬论，悖论是怎么说都对，但却不是错的。罗素提出的这个悖论就很有趣，叫做理发师悖论：

有一个小镇，镇上有一个理发师。有一天，他贴了一张牌子到理发店门口，上面写着：本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！理解起来很简单，就是如果你给自己刮胡子，那理发师就不给你刮胡子，如果你不给自己刮胡子，那理发师就给你刮胡子。

这时候有趣的问题就出现了：这个理发师应不应该给自己刮胡子呢？

如果他给自己刮胡子，那他就是一个给自己刮胡子的人，那他就不应该给自己刮胡子。

如果他不给自己刮胡子，那他就是一个不给自己刮胡子的人，那他就应该给自己刮胡子。

这个悖论看上去绕，但是逻辑并不复杂。那罗素作为一个厉害的数学家，为啥要给自己提这么奇怪的一个问题？不知道大家是否还记得康托尔这个人，第二次数学危机被平息，这位数学家就有很大的功劳。罗素提出这个悖论就是为了诘难这位德国数学家康托尔。

康托尔提出了一个很著名的“集合论”。集合这个概念大家不陌生，高中一年级数学就教这个，集合也被认为是现代数学的基础。集合论研究到深处，是非常复杂的，因此被人们称为“人类纯智力活动的最高成就”。

1900年国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”。这一发现使数学家们为之陶醉。

集合论确实很牛，但是康托尔在提出不久后，自己就发现了一个“瑕疵”。但是为名所累，他自己就没说这个瑕疵，好像以为他自己不说别人就不会发现。可惜才过了3年，也就是1903年的时候，罗素很快就发现了这个瑕疵，就跑过去问康托尔。

为了理解这个瑕疵，我们需要先复习一下集合的相关知识。集合有三个特点：

确定性：对一个集合而言，里面每一个元素都必须是确定的。

互异性：对一个集合而言，里面任意两个元素都不能相同。

无序性：对一个集合而言，里面的元素没有排列顺序。

比如对集合A={1,2,3}而言，它有三个元素，分别是1、2、3。对集合B={x|x是偶数}而言，所有的偶数就是这个集合的元素。当然，有些概念不能组成集合，比如所有的帅哥就不能构成集合，因为帅是主观的，有人觉得帅，有人可能觉得他丑，不具有确定性。但是所有的男人能组成集合，因为男人这个概念是确定的。

集合里有几种关系，其中一种叫“属于”或“不属于”。比如对集合A和B来说：

元素1属于A，不属于B，记作1∈A，1∉B。

元素2属于A和B，记作2∈A，2∈B。

了解了这些基本知识，我们再回到罗素提出的瑕疵上。罗素的理发师悖论就是想告诉康托尔，集合论面临着一个严重的自相矛盾的问题：

比如我可以定义一个集合C={x|x∉C}，这个集合的意思是——所有的集合组成的集合C，集合x不属于集合C，通俗的来说就是“所有不属于自身的集合的集合”。这时候问题就出现了，集合C数不属于自身呢？

如果集合C∈C，那么集合C就不满足定义，那么集合C∉C。

如果集合C∉C，那么集合C就满足定义，那么集合C∈C。

这就出现了矛盾，正也不是，反也不是，看着觉得绕口的朋友可以慢慢体会。

这个矛盾就是集合论的“瑕疵”，这个瑕疵到目前为止，虽然有了一些“缓兵之计”，但是到现在，依旧没有一个完美的解决方案，因此被称为第三次数学危机。

罗素大神提出了这个悖论，但是他自己解决不了；康托尔作为集合论的提出者，也解决不了这个问题，因此一次次被罗素诘难，十分悲催。到最后，康托尔竟然直接把自己逼疯了，最后死在了哈勒大学的精神病医院里。

如果说前两次数学危机只是影响了数学大厦的建设，那么第三次数学危机则影响了数学大厦的地基。整个数学界，逻辑学界和哲学界都感到了问题的严重性。当然，凡是有弊必有利。

第三次数学危机的爆发，对数学的发展起到了巨大的作用。它不但促进了数学基础理论的研究，还推动了数理逻辑的发展，更重要的是：促进了哥德尔不完全性定理的诞生。接下来的文章，小编将介绍这个哥德尔定理的内容和影响，以及它是如何改变世界的。

这就是三次数学危机，每一次都引发了严重的后果，但是每一次都为数学的发展提供了新的食粮。一次次危机就像一个个聚宝盆，为人类的发展带来了新的发展，新的内容，新的思想，新的变革，甚至新的革命。

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