一元二次方程的解法和例题(一元二次方程的解法)
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本文学习配方法解一元二次方程。
准备知识:完全平方式;二次根式的化简;解方程的移项、合并、系数化为1.
一、什么是完全平方式
1.形如a² 2ab b²或a² 2ab b²的式子叫做完全平方式。
2.完全平方式的特征:
3.练习:在下列横线上填入适当的数使等式成立
(1)x² 6x _____ =(x __)² ; (2) y²-2y ____=(y-___)²;(3)z² z ___=(z ___)².
二、配方法
1.我们已经知道,用直接开平方法可以解以下类型的方程:
(1)ax²=0(b、c皆为0);(2)ax² c=0(b=0);(3)a(x b)²=c.(b\c均不为0)
结论:在方程ax² bx c=0(a≠0)中,当b=0时,都可以用直接开平方法来解。当b≠0时,含未知数部分必须是关于未知数的一次式的平方,才能用直接开平方法来解。
自然想到的问题是:不是完全平方式的怎么做?
2.转化思想是学习和研究数学的一种重要的思想方法。
比如
我们已经会用直接开平方法解方程(x-3)²=0,那么怎样解方程x²-6x 9=0呢?
注意观察,我们发现利用完全平公式,可以将x²-6x 9转化为(x-3)².进而把方程x²-6x 9=0转化为方程(x-3)²=0来解。
再比如,我们会解 (x-3)²=4,那我们怎么解 x²-6x 5=0呢?
通过观察,将方程x²-6x 5=0两边同时加上4,得x²-6x 9=4.
此时,方程的左边正好是完全平方式。分解得(x-3)²=4,
这样就把方程x²-6x 5=0转化为(x-3)²=4,从而找到解方程的途径。
3.像上面那样,将方程通过变形,使含未知数的部分变为完全平方式,然后,再用直接开平方法解方程的方法叫做配方法。
直接开平方法的步骤:
4.举例:
(1)二次项系数为1
(2)二次项系数不为1
关键:当二次项系数为1(不为1时,一般要先化为1)时,方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。
4.练习:
用配方法解下列方程
(1) x²-9x-10=0; (2) 3x²-4x-7=0; (3) 4x²-12x 9=0;
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