从傅里叶级数角度看数学分析（数学分析子幂级数与傅里叶级数2）

三角级数的概念：

• 周期现象的数学描述就是周期函数
• 简谐振动：y=Asin(ωt φ)
• 复杂周期函数：n个简谐振动的叠加
• 三角函数项级数：A0 ΣAnsin(nωt φn) n：1->∞
• 若 A0 ΣAnsin(nωt φn) n：1->∞ 收敛，则它描述的是更为一般的周期运动现象
• 三角级数：a0/2 Σ(an·cosnx bn·sinnx) ;通过三角恒等变换出
• 三角级数前n项和，三角多项式：sn(x)=a0/2 Σ(ak·coskx bk·sinkx) k:1->n
• 正交函数列：{φn(x)}，满足：每个函数都在[a,b]可积，且 ∫φn(x)φm(x)dx=0 |a->b n不等于m
• 三角函数系的正交性：三角函数系中任意两个不同函数的乘积在区间[-π,π]上积分为0

以2π为周期的函数的傅里叶级数：

• 设f(x)以2π为周期，在[-π,π]上可积，an=1/π · ∫f(x)cosnxdx |-π->π;bn=1/π · ∫f(x)sinnxdx |-π->π；an，bn称为傅里叶系数，由傅里叶系数确定的三角级数a0/2 Σ(an·cosnx bn·sinnx)称为傅里叶级数
• 根据三角恒等变换 y=πx/l ，可以得出 以2l为周期的函数的傅里叶级数a0/2 Σ(an·cosnπx/l bn·sinnπx/l)，爱其中an=1/l · ∫f(x)cosnπx/ldx |-l->l ;bn=1/l · ∫f(x)sinnπx/ldx |-l->l；
• 若在[-l,l]上，f(x)是2l为周期的奇函数，此时三角级数称为正弦级数
• 若在[-l,l]上，f(x)是2l为周期的偶函数，此时三角级数称为余弦级数
• 任意区间[a,b]上的傅里叶级数：f(x)在[a,b]上当然不一定是周期函数，不过任然可以考虑进行傅里叶级数展开，只要把f(x)按周期延拓到整个数轴上，有偶式周期延拓和奇式周期延拓

傅里叶级数的收敛性：

• 逐段可微函数
• 定理：设f(x)以2π为周期且在[-π,π]上逐段可微，则f(x)的傅里叶级数在f(x)的连续点x处收敛到f(x)，在f(x)的不连续点x(第一类间断点)收敛到[f(x 0) f(x-0)]/2
• 迪利克雷积分：Sn(f，x)=1/π [∫[f(x t) f(x-t)]Dn(t)dt] |0->π；其中Dn(t)=[sin(n 1/2)t]/2sin(t/2)这是研究傅里叶级数收敛性的重要工具
• 黎曼引理是讨论傅里叶级数收敛的基本引理：f(x)在[a,b]可积,则lim ∫f(x)sinpxdx =0 |a->b ,p->∞；lim ∫f(x)cospxdx =0 |a->b ,p->∞
• 定理：若f(x)以2π为周期且在[-π,π]上可积，则其傅里叶系数an,bn满足lim an=lim bn=0 n->∞
• 傅里叶级数的分析性质：
• 1）逐项积分
• 2）逐项求导
• 3）傅里叶级数的平方平均收敛。（Sessel不等式，Parseval等式