动画韦达定理公式推导过程（7000字帮你彻底搞懂）

本章将带你一起做一回核物理专家，帮你彻底搞清楚以下问题：1亿度、1.2亿度、1.6亿度，到底怎样才算真正实现核聚变？反应截面、劳逊判据、点火条件、三乘积到底是什么？

前两章光吹牛了，这一章，我们要开启硬核模式了，讲点带公式的，看过我之前文章的应该知道，虽然涉及到一些公式，但会很克制和核心，主要是帮助更好的理解，相信我，适当的公式会迅速精准的实现对某些概念的理解。因为讲有比较细，比如之前关于粒子自旋、熵这2篇文，都是万字文，今天我讲的大概七八千字，也比较长了。但我相信你看完后对一些难以理解的东西有一个更高层次的认知。。。。。。前提是你得心静下来的时候读，或者先收藏一下，分个两三次读完。（建议把字体调大点）

好了！让我们先从这个问题开始：究竟怎么样才算是实现了受控核聚变？

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• 第一部分：源于一个你很容易想到的简单思想

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一个系统能够维持自我运转的基本条件是：产生的能量要大于损失的能量。我相信你也能想到，只不过科学家们要更严谨一点：单位时间单位体积内产生的能量要大于损失的能量。同时，他们会进行定量的分析、建模、实验，这就是科学与吹牛逼的区别。

下面我们就按照这个基本条件来一步步拆分、定性、定量、合并。

1、产生的能量（第1块拼图）

(氘氚聚变）

就核聚变而言，获取能量的途径就一条，实现聚变产生聚变能，比如氘和氚聚变，会产生中子和氦原子核，微观层面上，两个核子发生聚变损失一部分质量，产生17.6兆电子伏特的总能量，它会以粒子动能的形式分成2部分，质量越小的粒子，获取的能量越大，其中14.1兆电子伏特给了中子，占了大头，另外3.5兆电子伏特给了氦原子核，也就是阿尔法粒子，我想这个你应该很熟悉了，对吧。

但我们要把这个问题扩展一下，稍稍深入到定量的程度，将这种微观的过程转换到对应的宏观过程，看看聚变产生的能量的大小与哪些因素有关：

上面这个公式就是聚变功率密度的公式，可能乍一看有点看不懂，别着急，那是你小视频看多了，内心太浮躁，别着急，你再多看它一眼。

它是通过诸如平均自由程、单位体积、数密度、反应截面等一些基本的定义推导出来的，这里我们不去深究它的推导过程了，讲讲公式里的这些个符号。其实也就（sigma)这个符号有点难读，其它的都挺好认的，不是吗。代表的是每2个核聚变产生的总能量，对于氘氚聚变其值就是17.6兆电子伏特，和代表的是2种聚变气体（等离子体）的数密度，比如，表示每立方米中含有多少个氘核和氚核，代表的是粒子的速度，对宏观来说，对应的是气体的温度，温度越高，越大。

当气体的比例刚好是氘氚各占一半，聚变堆内的气体完全电离，电子数量等于氘核和氚核的总和，公式就变成了上面这个样子。

好了，把这个公式当作第一块拼图在心中记下来，后面我们要用到它。接下来，我们来拆解这个公式，看看它到底意味着什么？重点来讲一讲这个（sigma)，因为我知道你每次看到它因为不太熟悉总是感觉十分的不爽，把它多念几遍:sigma！sigma！sigma！

（1）截面（）

这是核反应中的一个重要的概念，它表示一对粒子发生碰撞的概率，但很有意思的是，它用的是面积的单位平方米（)。

其实这也不奇怪，我们先回忆一下宏观世界的截面概念：如果一个球的半径为ｒ，那么它的截面就是，当有另一球体的运动轨迹与该截面相交，它们俩就会发生碰撞，这没问题，是吧。

现在，我们来考虑１个磁球，嗯．．．．．情况是不是变得有意思了。

你的第一反应就是，不一定非得在这个截面里面才会发生碰撞，是的，因为有了电磁力，这个碰撞的截面增大了，具体是增大了多少，取决于磁球本身磁力的大小和衰减的距离，还有，取决于另一个球的速度，这个应该不难想，本来另一个铁球慢慢靠近过来，啪！被吸在了一起，而当铁球像子弹一样快时，嗯。。。。。。它可能由于速度太快，从磁球身边飞过去了。

讲到这里，可以看出，考虑力的不同，截面的大小也不同。

现在来考虑微观粒子，为简化计算，我们一开始也将粒子看成是一个个的硬球，这一截面被称为硬球截面，如同前面的宏观世界一样，考虑不同的力，截面大小也是有变化的。

如上图,假设有2个原子核，氘核和氚核(左为氘、右为氚)，想象氚核被力场包围着，通常考虑为强核力场和电磁力场，与入射粒子运动方向垂直的阴影区域就是反应截面，进入到这一区域的粒子，就会进入到强核力或电磁力的作用范围，考虑强核力时，这个作用力区域就被称作聚变截面，考虑电磁力时，则被称作库伦散射截面。

上面这幅图可以看出，强核力的作用范围很小，基本上就局限在原子核周围，所以其发生作用的截面也就是聚变截面也很小，而电磁力相对强核力来说，其作用距离随距离衰减，作用范围近乎无限大，所以电磁力的作用截面也就是库伦散射截面也非常大。

（2）聚变截面和量子效应

对于聚变截面，也可以用硬球碰撞模型来计算，如上图，可以看出聚变截面是取两个粒子半径之和为半径，因此，聚变截面是两个人（粒子）的事，就氘核与氚核而言，取半径之和米，则聚变截面(靶恩)

在微观世界中用平方米作为截面的单位显然太不合适了，所以，物理上又重新定义了一个小的常用单位，被称为靶恩（b)，1b(靶恩)大约就是以氘核的直径为半径划圆所代表的面积，约为

平方米。

这个值的大小是个什么概念呢，作为对比，可以告诉你核裂变过程中，中子与U235的裂变截面为600靶恩b。

经典物理下的氘氚温度与聚变截面关系图，没有曲线，低于288kev，聚变截面不存在

但在计算聚变截面时，我们要把一个重要的力考虑进去，就是电磁斥力，也就是说，即使在1靶恩（b)这样的条件下，聚变截面还是有约束条件的，那就是2个核子必须有一定的初速度，否则，在进入到强核力的作用范围之前，有可能就会被相互弹开，从宏观上讲，就是粒子必须具备一定的初始温度。这里我们不再放出公式进行计算了，通过设定碰撞时所具有的动能要大于库仑势能，可以计算出粒子必需具有288Kev以上的初始动能才能让聚变截面变得有意义（如上图），换算成温度是多少度呢，大约是30亿度，这显然与我们对核聚变实现条件的常识相悖，为什么呢？

答案是：因为我们没有考虑亚原子粒子所具有的量子效应。

经过量子力学修正的聚变截面曲线

将微观粒子的隧穿效应、波动效应、共振效应等量子效应考虑进去之后，如上图，聚变截面将不再是一条被截断的直线，而是一条曲线，它很好地显示了微观世界的特点，即：即使在很低的温度下，或者说两个粒子即使具有很低的动能，也能够发生聚变反应，只不过截面很小罢了。

总结一下：在粒子质量确定的情况下，聚变截面与温度相关，对温度的敏感性在30亿度之前很高（呈平方关系），具体的公式如上图，大家看看就好。

（3）公式拆解

好了，我们再回顾一下聚变功率产生的公式：

1、截面讲的差不多了，单位通常为靶恩（)或平方米（)，它度量了两个粒子碰撞概率的大小。

2、是粒子的速度，度量了宏观尺度上等离子体的温度，单位是米每秒（m/s）

3、称为平均反应率系数或平均反应截面速度，单位是，尖括号代表平均，更进一步来说，是麦克斯韦分布函数加权平均。前面段落已经讲过，与温度或者说粒子的运动速度息息相关，所以这是一个更加综合的指标，反应了单位时间单位体积内粒子相互发生聚变碰撞的活跃程度。的计算公式同一样，也很复杂，这里我们只需要记住，它仍是一个只与温度T有关的函数，并且在100Kev之前对温度的敏感性很高，接近平方关系就行了。

4、代表氘氚1比1混合时的反应速率，即每秒每立方米发生聚变的次数，单位是:，当然，“次”这个单位通常省略了。

最终得到聚变功率密度公式：，单位为，其物理意义表示：单位时间、单位体积内产生了多少能量，代表每2个核子聚变产生的总能量。如前所述，对电子数密度和温度（100KeV）都很敏感（等于或接近平方关系)，记住这一点哦。

下面现学现用一下：

看看上面这幅图，现在这些个奇奇怪怪的符号应该都能看懂了吧，这幅图能告诉你为什么现阶段的聚变材料为什么会选用氘和氚（同样的温度下，谁爬升的最快）。

好了，至此，产生的能量这块拼图讲的差不多了。

要不要喘口气。。。。。点赞关注一个

接着来我们来看看损失的能量。

2、辐射损失的能量（第2块拼图）

核聚变都是同高温等离子体打交道的，这些带正电的离子和带负电的电子都处于一种相互分开的自由状态，电子在磁场的约束、离子的吸引等影响下，会产生弯转（回旋）、加速、减速等加速度的变化，这种变化带来的能量差会以光子的形式辐射出去，释放不同频率的光子（当然直线加速不包括在内，这种运动状态的粒子几乎不向外辐射），一般来说，减速会产生韧致辐射（或说叫刹车辐射）。

而因方向发生变化，比如粒子回旋、偏转产生的辐射则被称为回旋辐射，在同步加速器中产生的韧致辐射则被称为同步辐射（通常被用来作为同步辐射光源），当然从本质上讲，这些辐射具有同样的发射机理。

那么，在聚变堆内，这部分损失的能量也就是怎样定量表示呢？

假设有不含杂质的氘氚离子和电子组成的等离子体，且电子与离子的温度相同，则这团等离子体的韧致辐射功率密度可由下式表示：

这个公式我们看看就好，主要还是按照先定性、再定量的这么一个思路看看这个韧致辐射到底与什么因素有关。

这一公式被称为Bethe-Heitler（贝蒂－海特勒）公式，是由德国物理学家海特勒在１９３４年提出的，适用于8-20Kev的温度，其推导是从麦克斯韦的电磁方程组和麦克斯韦分布函数出发的，这里就不展开了，以免陷入更复杂的层级。

如上图，通过代入有关物理常量，进一步简化后，我们只看到了３个参数，Ｚ代表等离子体的总核电荷数或原子序数，对于氘氚气体来说，因为都只有1个质子，所以是1，代表气体中的电子数密度，或者说代表氘与氚核在一起总的数密度，代表电子的温度（但用KeV表示，其实就是能量）。总的说来，韧致辐射功率密度主要与聚变装置中的气体密度和温度成正比，同时也可以看出，韧致辐射对温度的敏感性要比聚变功率密度弱（平方根关系）。

这是关于聚变条件的第2块拼图，记住它！

3、对流和热传导损失的能量（第3块拼图）

对于实际的反应堆来说，最大的能量损失是通过热传导和对流方式引起的损失（热扩散），即使反应堆对等离子体的约束非常好，这个损失可以唯象的用一个约束时间概念来表示：（读：tao E)，这段时间内，等离子体构型将会逐步或突然瓦解。用单位体积等离子体所含有的能量除这个约束时间就是功率密度了！

单位体积等离子体所含有的能量是多少呢，可以套用大学物理关于理想气体状态的方程得到：，所以，等离子体热扩散损失的功率密度被定量表示为：。

我们知道单个粒子的平均能量公式是（这里的T温度以开尔文K为单位）,所以等离子体的能量密度为,在聚变公式中，通常将这个简写为，这时的温度单位通常为千电子伏特（）。

这是关于聚变条件的第三块拼图，记住它！

现在我们要开始拼拼图啦！

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• 第二部分：三种主要的判据

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经过前面的铺垫，现在再跟你说说实现核聚变的判据，待会列出公式的时候，你肯定要大呼：靠！这个我懂！

就磁约束核聚变而言，因考虑能量来源、辐射损失、等离子输送损失等细节的不同，通常有“劳逊判据”、“零功率堆判据”、“点火条件”等等。

那么这些个判据是什么意思呢？主要的意思是从不同的设想情况出发来设置不同的产生功率与损失功率的平衡关系，从而得出关于温度与数密度以及能量约束时间的相互关系，通常，把称为劳逊参数，而把称为三乘积参数。

那咱们就循序渐进一个一个来说道说道：

1、劳逊判据

首先讲一下劳逊判据，这是大家常听到的词了，你只要把前面的内容好好看明白，现在劳逊判据保证一讲你就明白。

劳逊判据是上世纪五六十年代核聚变早期由英国工程师和物理学家劳逊（John D. Lawson）提出的，由于早期科学家对于氘氚聚变堆的研究认识还不够，对聚变堆内部的运行还不是十分的清晰，所以，这个判据只是笼统的给出了一个得到与损失功率相当的约束条件。

具体的定性描述是这样的：假定前面讲的三块拼图，也就是聚变产生的总功率的一部分 韧致辐射功率 热传导功率从反应堆逃逸后又被重新收集起来，再经过能量转化的打折后，重新导入聚变堆，能够刚好抵消（或者大于）聚变堆内的的韧致辐射功率和热传导功率损失之和。

定量描述的公式如下：

（读eta）就是打折的系数（类似于热机效率参数），左边括号内第一项、第二项、第三项以及右边的两项相信你都很熟悉，看懂公式的感觉不错吧，从这也可以看出，数学作为一种特殊的语言体现出来的简洁和精准之美了。

劳逊判据的粗糙在于：它没有考虑到阿尔法粒子对等离子体的自加热贡献，而正因为有了这种聚变产物--阿尔粒子的自加热效应，才让反应堆达到点火条件（自持）成为可能。

但劳逊首先给出了（劳逊参数）的约束条件可以说是开创性的，为开展核聚变的定量分析和工程实施提供了重要依据。

2、零功率堆判据

这一判据也被称作得失相当判据，即在劳逊判据的基础上，在产生功率方面将阿尔法粒子的自加热因素考虑到方程中。

具体的定性描述是这样的：假定从反应堆中逃逸的一部分聚变产生的总功率（主要是聚变产生的中子所带的动能） 韧致辐射功率 热传导功率被重新收集起来，经过能量转化的打折后，重新导入聚变堆（注意和劳逊判据的区别，可以对比一下），再将总聚变能量的五分之一，即阿尔法粒子的能量也算进来，它们的和要能够刚好抵消（或大于）聚变堆内的韧致辐射功率和热传导功率损失之和。

公式如下：

(真心长，但就是那三块拼图）

相比于劳逊判据，由于考虑到了阿尔法粒子的自加热能力，相同温度条件下，

的数值要求要比劳逊参数低。

3、点火条件（判据）

点火条件是目前核聚变研究领域一种用得比较多的判据，代表了一种更加有现实意义的功率平衡状况，定性地讲就是：单靠聚变炉内阿尔法粒子的自加热功率就能抵消（或大于）聚变堆内的韧致辐射功率损失和热传导功率损失之和。

用公式表示就简单多了：

这样的条件下，聚变堆不需要外部加热就能够使聚变反应长期维持下去，甚至还有功率富余用来发电，所以这样的条件也被称为自持燃烧条件。

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• 第三部分：回到开始的问题，怎样才算实现？

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前面讲过，求解各种判据所列的方程，就能够得到不同的温度与的相互关系式，放到坐标系上就得到了一条关系曲线，一种判据是一条线。

那么回到我们开始的问题，到底多高的温度才能实现核聚变呢？

需要注意的是：由于微观粒子的量子效应，理论上不管温度高低，两个离子都有一定的概率发生聚变，表现在宏观上就是，不管温度高低，都有或多或少的离子在发生核聚变。

但到底多高的温度才能实现核聚变呢，这个问题，其实我相信你想问的，或者说让这个问题有意义的问法是：多高的温度才能实现核聚变过程的输出功率大于输入功率呢？

答案就是：曲线之上，也就是说，在一定的温度下，聚变炉内等离子的数密度和约束时间的乘积（劳逊参数，二乘积指标）高于某个值才能实现。由于温度是极其重要的参数，为了体现更加综合的指标，后来也将温度也纳入进来，变成三乘积指标。

实现的最佳条件就是：寻找一个合适的温度，让曲线上对应的三乘积值最小。也就是说，要寻找反抛物线的谷底。

上面这张图就是氘氚聚变的三种判据的二乘积指标关系图，可以看出点火条件的要求是最高的，理论上高于其抛物线之上的坐标皆可。

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• 第四部分：给你一些直观的数据

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讲到这里，对于怎样才算实现核聚变你可能还是没有一个很直观的印象，接着我给你讲一些关键的数据，你可能就心中有底了。

一、温度的下限：从能量收益的角度讲，受控核聚变的最低温度要求约为4.4KeV(约4400万度），该处也被称为理想点火条件，在这一温度下，聚变产物阿尔法粒子的加热功率刚好抵消粒子韧致辐射功率损失，低于这一温度，将入不敷出。超过这一温度，阿尔法粒子的加热功率将迅速升高并达到更高的聚变条件。

二、敏感的温度：从对点火条件的实现难度上来讲，我们当然希望聚变堆能够达到一个最佳温度，在这一温度下的值或的值最小，这样工程上就能以相对不高的数密度和约束时间来达到点火条件（寻找反抛物线的最低点）。但温度是影响众多变量的主参，所以最小的和最小的并不对应同一温度。

三、最低点在哪?就氘氚聚变而言，当温度取3亿度左右（30KeV)时，最小。

而温度取约1.6亿度时（15KeV)，最小，等于。（该数值经过认真计算，参考书籍为《等离子物理与聚变能.p60》，并和其他书箱以及维基进行过比对），也就是说，将温度控制在约1.6亿度左右，三乘积的点火条件在工程上最容易实现和超越。

当温度为15KeV时，pTe有最小值8.3标准大气压.秒（atm.s)

四、再直观一点！这个数值你可能还是没有一个直观的感觉，根据理想气体状态方程，我们将这一条件换算成我们感觉得到的1个标准大气压为单位，那么，在1.6亿度的条件下，如果聚变堆能够约束等离子体1秒的情况下，聚变堆内的气压要达到约8.3个标准大气压。

五、合肥的很牛。上一篇讲核聚变中国史的时候讲过，合肥的EAST已经将约束时间提高到了100秒以上，从1秒到100秒这是2个数量级的提升，目前，1.2亿度101秒等离子体运行和1.6亿度20秒等离子体运行也已实现，按照这个参数，将大大降低对等离子体数密度或压强的要求，聚变堆内的气压只需要达到约0.4个大气压以上即可。（当然，目前的EAST并没有进行实际的氘氚燃烧实验，毕竟它是一个研究实验装置，主要目的是进行等离子体高约束稳态研究）

六、温度需要再往上吗？从目前的氘氚聚变堆来说，继续升高温度或降低温度都会导致对三乘积的要求呈抛物线式的增长，拔高了工程实现上的难度，更主要的是不利于稳态运行，所以目前在工程上，都将温度设定在10到20KeV之间。比如，为了能够有多余的能量用来发电，ITER的设计运行温度设定在了最高20KeV。

但从对核聚变研究的角度来讲，20Kev远远不是终点，氘氘聚变才是人类受控聚变的阶段性终点，而它的三乘积最小值都出现在温度达到100Kev以上时，也就是大约10亿度以上的温度，所以即使实现了氘氚聚变，对高温等离子体的约束研究还远未到达阶段终点。

好了，本章就讲到这里，欢迎留言讨论！如果你感觉有所收获，就点赞关注一下(顺便告诉你，截至目前，人类的托卡马克装置在三乘积方面尚未达到点火条件的三乘积指标，ITER和中国正在研发的CFETR有望接近这一目标。

参考文献：讲等离子物理与核聚变的那些书，大学物理教材

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