数学幻方公式（灵机一动第111期）

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正方体幻方

把数字1到8放到正方体的八个顶点上，要求每个面的四个顶点的数字和都相同，请问有多少种不同的放法？（旋转、翻转正方体后相同的视为同一种）

问题分析解答

本题答案为6种，下面分步讲解。

一、计算正方体幻方每个面的数字和。数字1到8的和为36，因此正方体的上下两个面的数字和也是36，由于每个面数字和相同，因此上下两面数字和均为18，即正方体幻方每个面的数字和都是18。

二、分析正方体幻方各数字位置关系。不妨从最小的数字1和最大的数字8入手，通过简单的试错不难发现，1必须和8在一条棱上（1和8无论在面对角线还是体对角线上都无法构成正方体幻方）。

三、考虑哪些数可以和1、8共面。由于1 8=9，且每个面的数字和都是18，因此和1、8共面的两个数字的和也一定是9，因此有以下三种可能：

①.1827共面

②.1836共面

③.1845共面

四、考虑上面三种情况数字的位置关系。这一步还是需要试错，然后我们可以发现：若1827共面，1与2相对（即不相邻，下同）；若1836共面，1与3相对；1845共面，1与5相对。

五、再分两步考虑正方体幻方所有可能的数字排列。

1、对于1、8所在棱来讲，由于它一定是两个面的公共棱，所以1、8一定与两组数字共面，上面提到可以与1、8共面的数有三组，从中任取两组共计C（3,2）=3种取法。

2、同时还应考虑每种取法可能产生的排列数，以1827和1836共面这种取法为例，显然数字1-8-2-7既可以顺时针排列，也可以逆时针排列，而且这两种排列之间是无法通过旋转（翻转）相互转化的，尽管它们关于镜面对称，但题目中并未说明对称为同一种情况，因此每一种取法都对应两种排列。

3、以1827和1836共面这种取法，且数字1-8-2-7顺时针排列为例，通过试错可以发现在这种情况下，不考虑旋转（翻转）带来的变化，其他数字的相对位置关系都确定了（具体位置关系见下图1），不会再产生新的情况，其他排列情况也是如此。

综上所述，正方体幻方的可能情况数=取法数3*每种取法对应的排列数2=6种（这六种情况参见下图2）。

这里需要说明几点：

1、这6种情况通过旋转（翻转）可以得到所有的正方体幻方。

2、这6种情况彼此间不能通过旋转（翻转）转化。

3、这6种情况实际上是3组镜面对称的正方体幻方，但本题并未要求排除镜面对称的情况，因此答案为6种。

题友解答精选

◎题友 @邱延成的思路：

每个顶点对应3个面，所以6个面的数字之和为(1 2 3 4 5 6 7 8)x3=108，每个面的数字之和为108/6=18，不妨先填1，因为7个顶点都可以通过旋转和翻转到达1的位置，所以1有1种填法，有1的4个数字之和得18的4个数字组合只有1、2、7、8，1、3、6、8，1、4、5、8和1、4、6、7这四组，有8的4个数字之和得18的4个数字组合也只有四组，所以8与1共棱，与1共棱的3个顶点中任意一个顶点填上8，其它两个都可以通过旋转翻转到达，所以8有1种填法，1、8固定后，1的另两个共棱顶点从4、6、7中选两个排列后填入有A(3，2)=6种，1和1的共棱3个顶点都填入数字后其它位置只有一种填法，所以一共有6种填法。

◎题友 @对方正在输入……的思路：

镜面对称算两种的话一共6种情况。首先排除1,8相距√2和√3的情况，1,8只可能共棱，以1,8所在棱为z轴，则xy平面只能是1467，4条和1,8平行的棱必定都是相加为9，即1,8棱，2,7棱，3,6棱和4,5棱，这4条棱组出6种结果。

本期答案整理：老王 编辑：子曰

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