奥数数论应用题（关于数论的奥数题很难）

今天的目标是解第二届华杯赛真题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：，接下来我们就来聊聊关于奥数数论应用题?以下内容大家不妨参考一二希望能帮到您!

奥数数论应用题

今天的目标是解第二届华杯赛真题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

某自然数a=111……111(共1989个1)，请问a*a乘积的各位数字和是多少？

该题目属于难度很高的数论问题，解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

某自然数a=111……111(共1989个1)，请问a/9的值是多少？

题目二（中等难度）

某自然数a=111……111(共1989个1)，b=1000……000(共1989个0)，请问b-a/9的值是多少？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

某自然数a=111……111(共1989个1)，请问a*a乘积的各位数字和是多少？

以下为答案：

题目一：

答:12345679012345679……012345679(共220个12345679）。

因为当分子为9个1时，111111111/9=12345679；

故当分子为18个1时，

111……111/9

=111111111000000000/9 111111111/9

=12345679012345679；

由于1989=9*221，故当分子为1989个1时，

111……111/9

=12345679012345679……012345679(共220个012345679）。

题目二：

答:987654320……987654320987654321(共220个987654320）。

从题目一知道，111111111/9=12345679，

故对9个0和9个1的情况，

1000000000-111111111/9

=1000000000-12345679

=987654321；

对18个0和18个1的情况，类似的有

1000……000-111……111/9

=987654320987654321；

对1989个0和1989个1的情况，类似的有

1000……000-111……111/9

=987654320……987654320987654321(共220个987654320）。

题目三：

答:17901。

设b=1000……000(共1989个0)

因为a*a=(a*9)*(a/9)

=999……999*(a/9)

=(b-1)*(a/9)

=b*(a/9)-(a/9)

= b*(a/9-1) (b-a/9),

从题目一知道,

a/9=12345679012345679……012345679(共220个012345679）,

从题目二知道，

b-a/9=987654320……987654320987654321(共220个987654320)。

故：b*(a/9-1)

=12345679012345679……012345678000……000(共220个12345679,1989个0），

其数字和是220*37 36=221*37-1，

而b-a/9的数字和是220*44 45=221*44 1，

注意到b*(a/9-1) (b-a/9)的数字和就是2个的数字和相加，

所以，a*a的数字和是

221*37-1 221*44 1=81*221=17901。

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