散度梯度旋度（散度和旋度及其应用）

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散度梯度旋度

• 大家都知道，路程（S）、速度（V）和加速度（a）之间的关系。同时也知道，S的一阶导楼等于V；V的一阶导数等于a或S的二阶导数等于a。通俗讲，就是单位时间内S的变化率是V，V的变化率是a。如把S假设为父级层面的量，则V就是子级层面的量，a就是孙级层面的量。总之，速度和加速度均是用来描述单位时间内某个量变化快慢的“测度”。从极限定义来看，因为点是几何上最小的表达符号，所以，加速度再对时间进行求导，就不具有物理意义了。如果有的话，也是数学逻辑运算上的需要。
• 梯度(grad)某种程度上讲，可以理解为是速度的广义表达。都是矢量。如把速度描述成是研究函数在一点P沿着X轴、Y轴或Z轴等指定方向的变化率的问题，那么，梯度则是研究函数在点P沿着某方向产生最大变化率 的问题。当轴到任一方向L的转角为0或∏/2时，梯度问题就变成速度问题了。从方向导数的一般表达式推导可知，最大的方向导数与梯度的方向是一致的，或者说，函数Z在P点变化最快的方向就是最大的方向导数的方向。因此，可以把梯度看作是描述某个量变化率问题的一个“线测度”。对于一般的二元函数或三元函数，我们可以通过几何作图法找出最大的方向导数方向。对于二元函数Z= f（x ，y）在点P（x ，y）的最大方向导数方向为过点P的等高线f（x ，y）=c（常数）在这点的法线方向且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线；对于三元函数U=f（x ，y，z）的最大方向导数的方向为过点P等量面f（x ，y，z）=c（常数）在这点的法线方向且从数值低的等量面指向高的等量面。
• 散度(div)可以通俗理解为单位时间内单位体积某个量所产生的变化量。它是用来描述体积膨胀或收缩的一个“体测度”且是个标量。对于稳定流动的不可压缩流体，散度可以表达为在某个M点的源头强度——在单位时间内单位体积内所产生的流体质量或流失的质量。它通常由高斯公式通过某点邻域内的通量来求得，即向量场A的散度对于空间区域Ω的体积积分等于向量场A通过曲面Σ（空间域Ω的边界曲面）向着指定侧面的通量（或流量）。
• 旋度（rot)顾名思义，是和旋转联系在一起的。它是个矢量，其方向符合右手螺旋法则。它是 用来描述流量强度的一个指标。通俗点理解，也不妨认为是描述单位时间内单位面积指标所产生的变化量，是衡量面积扩大或缩小的一个“面测度”。它可以通过某点邻域的环流量来计算，即：向量场A的旋度通过Γ所张的曲面Σ的通量等于向量场A沿有向曲线Γ的环流量。
• 梯度、散度和旋度，简称“三度”，在电磁学上得到了完美应用。麦克斯韦方程组就是很好的例证。麦克斯韦在引入涡旋电场和位移电流两个重要概念之后，将静电场环流定律修改为电场强度E的环流不为零，而是等于位移电流的负值；把安培环流定律修改为全电流环路定律。同时，他认为静电场中的高斯定理和磁场中的高斯定理，不仅适用于静电场，而且还适用于一般的电场和磁场。于是， 将四个以积分形式表达的基本方程式组合在一起，统称为麦克斯韦方程组。依照三度的定义，我们可以写出麦克斯韦方程组的三度表达式，即：rotH=J ЭD/Эt ；rotE=- ЭB/Эt ； divB=0；divD=ρ。其中H为磁场强度，E为电场强度，D为电感应强度（电位移矢量），B为磁感应强度，J为传导电流的面密度，ρ电荷的体密度。
• 梯度是由标量函数得到的矢量函数；散度是由矢量函数得到的标量函数；旋度是由矢量函数得到的矢量函数。因此，从中我们可以推导出：梯度的旋度为0；旋度的散度为0.即梯度无旋，旋度无散。
• 参考文献：1、《高等数学》同济大学主编；2、《物理学》南京工学院主编；3、《数学物理方程与特殊函数》南京工学院主编