群论代表人物（群论杨克礼）

Loading...Articles21Tags7Categories3首页时间轴标签分类下载友情链接关于我CatalogYou've read3%，接下来我们就来聊聊关于群论代表人物?以下内容大家不妨参考一二希望能帮到您!

群论代表人物

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1. 1. 群论基础
2. 1.1. 集合论预备知识
3. 1.1.1. 集合与集合的运算
4. 1.1.2. 映射
5. 1.1.3. 二元运算
6. 1.1.4. 等价关系与等价类
7. 1.1.5. 交换图
8. 1.2. 群的基本概念
9. 1.2.1. 半群与群
10. 1.2.2. 子群与商群
11. 1.2.3. 群的同态与同构
12. 1.2.4. 循环群
13. 1.2.5. 变换群与置换群

Axeho's blog首页时间轴标签分类下载友情链接关于我群论基础Created 2020-06-17| Updated 2021-01-27|学结Post View:638|Comments:2本文为作者学习抽象代数（近世代数）的部分内容后的总结博客。写文章的主要目的是总结笔记、整理思路并方便以后的复习。欢迎在评论区与本人交流。鉴于作者水平有限，如若内容有误，还请读者及时批评指正。前排提醒，鉴于作者水平有限，本文不建议数学专业学生参考。文章也可能会将更多的关注点放在概念的理解以及物理关系上。群论基础集合论预备知识本节记录一些基本概念。集合与集合的运算集合不给出定义，否则会导致悖论。不过要注意的是对给定的集合，它里的元素应当是非常明确的。集合上定义了四种基本运算。

1. 集合的交。
2. A∩B:={x∣x∈A且x∈B}A \cap B := \{x\mid x \in A \text{且} x \in B\} A∩B:={x∣x∈A且x∈B}
3. 更一般的形式为
4. ⋂i∈IAi:={x∣x∈Ai,对每个i∈I成立}\bigcap_{i \in I}A_i := \{x\mid x\in A_i,\text{对每个}i\in I\text{成立}\} i∈I⋂​Ai​:={x∣x∈Ai​,对每个i∈I成立}
5. 集合的并。
6. A∪B:={x∣x∈A或x∈B}A \cup B := \{x\mid x \in A \text{或} x \in B\} A∪B:={x∣x∈A或x∈B}
7. 更一般的形式为
8. ⋃i∈IAi:={x∣x∈Ai,对某个i∈I成立}\bigcup_{i \in I}A_i := \{x\mid x\in A_i,\text{对某个}i\in I\text{成立}\} i∈I⋃​Ai​:={x∣x∈Ai​,对某个i∈I成立}
9. 若这其中的 Ai ~A_i~ Ai​ 两两不相交（即交集为空集），则称 ⋃i∈IAi ~\displaystyle\bigcup_{i \in I}A_i~ i∈I⋃​Ai​ 为不交并。记为 ⨆i∈IAi ~\displaystyle\bigsqcup_{i \in I}A_i~ i∈I⨆​Ai​ .
10. 集合的差集与补集。
11. 设 A,B ~A,B~ A,B 为某个固定集合 U ~U~ U 的子集，那么 A ~A~ A 对 B ~B~ B 的补集或差集为
12. A−B=A∖B:={x∣x∈A且x∉B}A - B = A \setminus B := \{x\mid x\in A\text{且}x \notin B\} A−B=A∖B:={x∣x∈A且x∈/B}
13. A ~A~ A 在 U ~U~ U 中的补集为
14. AC:={x∈U∣x∉A}A^C := \{x\in U \mid x\notin A\} AC:={x∈U∣x∈/A}
15. 可知，若 A,B ~A,B~ A,B 为有限集，则有容斥原理
16. ∣A∪B∣=∣A∣ ∣B∣−∣A∩B∣\mid A \cup B \mid = \mid A \mid \mid B \mid - \mid A \cap B \mid ∣A∪B∣=∣A∣ ∣B∣−∣A∩B∣
17. 集合的笛卡尔积
18. 集合 A ~A~ A 与 B ~B~ B 的笛卡尔积是由所有元素对 (a,b) ~(a, b)~ (a,b) 构成的集合，即
19. A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\} A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}
20. 更一般的，集合族 Ai(i∈I) ~A_i(i\in I)~ Ai​(i∈I) 的笛卡尔积为
21. ∏i∈IAi:={(ai)i∈I∣ai∈Ai}\prod_{i\in I}A_i := \{(a_i)_{i\in I} \mid a_i \in A_i\} i∈I∏​Ai​:={(ai​)i∈I​∣ai​∈Ai​}
22. 若所有的 Ai ~A_i~ Ai​ 相同，则可以写成幂的形式。

映射映射以及象与核的概念在线性代数中已经讲过这里就不再赘述。设 f,g ~f, g~ f,g 为集合 A ~A~ A 到 B ~B~ B 的两个映射。若对 A ~A~ A 中任何元素，都有 f(a)=g(a) ~f(a) = g(a)~ f(a)=g(a) ，则称映射 f ~f~ f 与 g ~g~ g 相等。记为 f=g ~f = g~ f=g 复合映射定义如下设 f:A→B,g:B→C ~f : A \to B, g : B \to C~ f:A→B,g:B→C ，则映射g∘f:A→C,a↦g(f(a))g \circ f : A \to C,\quad a \mapsto g(f(a)) g∘f:A→C,a↦g(f(a))称为 f ~f~ f 与 g ~g~ g 的复合映射。这里 ∘ ~\circ~ ∘ 表示复合，有时我们也会将其省略。符号 ↦ ~\mapsto~ ↦ 意为“映射到”（ TeX ~\TeX~ TE​X 代码为\mapsto）。复合的写法是讲顺序的，在右边的映射先作用，左边的后作用。映射的复合有结合律，即(h∘g)∘f=h∘(g∘f)(h\circ g)\circ f = h\circ(g\circ f) (h∘g)∘f=h∘(g∘f)二元运算有了映射的概念，我们就可以定义运算。常见的基本的运算都是二元运算，比如数的加法、乘法等。那么我们将这一点抽象出来，就得到了二元运算的概念。设 S ~S~ S 为集合，我们称映射 f:S×S→S, (a,b)↦p ~f : S\times S \to S,~(a,b)\mapsto p~ f:S×S→S, (a,b)↦p 为 S ~S~ S 上的一个二元运算。也就是说二元运算是集合自身与自身的笛卡尔积到自身的一个映射。类似的，我们也可以定义 n ~n~ n 元运算。不过，将二元运算记为 p=f(a,b) ~p = f(a,b)~ p=f(a,b) 总是很麻烦，所以我们常常使用一些符号（如 ,×,⋅,∘ ~ , \times, \cdot, \circ~ ,×,⋅,∘ ）等来表示二元运算，或者我们有时候干脆将其省略。有了运算的概念自然就要研究运算的性质。实际上，要研究一个代数体系最基本的就是集合与运算。有时候，运算会满足结合律；有时候则会满足交换律；有时候则两个都会满足。我们常常会注意到，很多二元运算都满足结合律，但有一些并不满足交换律（如映射的复合）。实际上我们有一个基本的事实：结合律是更一般的规律。等价关系与等价类在线性代数中就已经接触过相关的概念。现在我们可以明确的给出。集合 A ~A~ A 中的元素间的关系 ∼ ~\sim~ ∼ 称为等价关系，是指下述三条性质成立：

1. 自反性：对所有 a∈A,a∼a ~a \in A, a \sim a~ a∈A,a∼a .
2. 对称性：如果 a∼b ~a \sim b~ a∼b ，则 b∼a ~b \sim a~ b∼a .
3. 传递性：如果 a∼b ~a \sim b~ a∼b 且 b∼c ~b \sim c~ b∼c ，则 a∼c ~a \sim c~ a∼c .

等价关系必须是非常明确的概念。也就是说，一旦给定了等价关系，我们一定可以判断集合中的两个元素是否有这种关系，不能存在无法判断，或是既有又没有这种关系的情况。在线性代数中我们就经常提到这表明了一种分类的关系。下面我们就说明，这种等价关系可以导出集合中的等价类。首先，我们把集合 A ~A~ A 作为它的一些子集合的不交并称为 A ~A~ A 的一个拆分。等价关系，实际上就决定了一种拆分。设 ∼ ~\sim~ ∼ 是 A ~A~ A 上的一个等价关系，那么对于 a∈A ~a \in A~ a∈A ，所有与 a ~a~ a 等价的元素构成的子集合称为 a ~a~ a 所在的等价类，记为 [a] ~[a]~ [a] 。不难发现，两个不同等价类的交集为空集；若两个等价类中有具有等价关系的元素，那么这两个等价类是相等的。我们把 A ~A~ A 中所有等价类构成的集合记为 A/∼ ~A / \sim~ A/∼ ，即A/∼:={[a]∣a∈A}（去掉重复项）A / \sim := \{[a] \mid a \in A \}\qquad \text{（去掉重复项）} A/∼:={[a]∣a∈A}（去掉重复项）因为具有等价关系的元素同属于一个等价类，而集合的元素不应当重复，所以我们要特别注明去掉重复项。这时会发现 A ~A~ A 可以写为不交并A=⨆[a]∈A/∼[a]A = \bigsqcup_{[a]\in A / \sim}[a] A=[a]∈A/∼⨆​[a]也就是说由等价关系我们得到了集合的一个拆分。实际上反过来也正确，由集合的一个拆分我们就能够定义一个等价类。因此，集合 A ~A~ A 的拆分与定义在 A ~A~ A 上的等价关系一一对应。前面我们使用了 A/∼ ~A / \sim~ A/∼ 这个记号。 / ~/~ / 实际上表示商集，也就是说，这个等价关系 ∼ ~\sim~ ∼ 也可以看作一个集合。我们现在不妨将等价关系写为集合 R ~R~ R ，那么它决定的等价关系就是：对于定义了二元运算 ∘ ~\circ~ ∘ 的集合 A ~A~ A 中的两个元素 a,b ~a,b~ a,b ，若 a∘b∈R ~a \circ b \in R~ a∘b∈R ，则称元素 a,b ~a,b~ a,b 具有等价关系 R ~R~ R .我们一样可以记为 aRb ~a R b~ aRb .那么商集 A/R ~A / R~ A/R 就仿佛是一种除法。实际上商集的概念起源于数的除法。例如 12÷3=4 ~12 \div 3 = 4~ 12÷3=4 ，我们就可以看作，这是将一个十二个元素的集合对某种称为“3”的等价关系做商，得到了一个集合“4”，它里面有四个不交的子集，每个集合有三个元素。那么等价关系，即是一个集合，那么商集 A/R ~A / R~ A/R 就是集合 A ~A~ A 针对一个等价关系做商，商得的结果是元素为集合的集合。这些元素即是 A ~A~ A 的一个拆分。来自不同集合的元素已经不具有等价关系 R ~R~ R 了，可以说是集合 A ~A~ A 中的这种等价关系被商掉了。举一个不太恰当的例子，就如同我们把一个高中的全体学生作为一个集合，规定等价关系为“同一年级”，那么做商后得到的集合里的每个元素又是一个集合，这个元素或者说这个集合就是“每个年级”，不同子集的学生当然已经不属于同一个年级了，因为这种关系已经被我们商掉了。交换图设 f:X→Y ~f : X \to Y~ f:X→Y 和 g:X→Z ~g : X \to Z~ g:X→Z 为给定映射，如果存在映射 h:Z→Y ~h : Z \to Y~ h:Z→Y ，使得 f=h∘g ~f = h \circ g~ f=h∘g ，我们称 f ~f~ f 通过 g ~g~ g 分解。如果 g ~g~ g 由 Z ~Z~ Z 明显给出，有时也称 f ~f~ f 通过 Z ~Z~ Z 分解。我们通常可以通过下图来表示。这里，从 X ~X~ X 经过不同路线到 Y ~Y~ Y 的映射是相等的映射，我们将这样的图表称为交换图。对于上面这样简单的情形，画图的表示方法似乎略显麻烦，写 f=h∘g ~f = h \circ g~ f=h∘g 更简单；但是若映射很多，关系很复杂，那么画图是很好的表示方法，列出等式通常会非常麻烦。下面定义嵌入映射，开拓与限制。设 A0 ~A_0~ A0​ 为 A ~A~ A 的子集，定义 A0 ~A_0~ A0​ 到 A ~A~ A 的映射 i:A0→A ~i : A_0 \to A~ i:A0​→A 使 i(x)=x,x∈A0 ~i(x) = x,x\in A_0~ i(x)=x,x∈A0​ . i ~i~ i 称为 A0 ~A_0~ A0​ 到 A ~A~ A 的嵌入映射。嵌入映射就是自身到自身的映射，我们专门把它写出来是因为这个概念将会较多的用到。设 A0 ~A_0~ A0​ 为 A ~A~ A 的子集， f ~f~ f 是 A ~A~ A 到 B ~B~ B 的映射， g ~g~ g 是 A0 ~A_0~ A0​ 到 B ~B~ B 的映射。如果 f(x)=g(x) ~f(x) = g(x)~ f(x)=g(x) 对 ∀x∈A0 ~\forall x \in A_0~ ∀x∈A0​ ，称 f ~f~ f 为 g ~g~ g 的开拓， g ~g~ g 为 f ~f~ f （在 A0 ~A_0~ A0​ 上）的限制。记为 g=f∣A0 ~g = f\big|_{A_0}~ g=f∣∣∣​A0​​ .这个概念可以用交换图来简单的表示。即说明图是交换的。群的基本概念半群与群设 G ~G~ G 为一个非空集合， G ~G~ G 上有二元运算 ∘ ~\circ~ ∘ ，满足结合律，则称 {G;∘} ~\{G ;\circ\}~ {G;∘} 或 (G) ~(G)~ (G) 为一个半群。半群只要求了运算有结合律。它要求很宽泛，还不能称为群。设 {G;∘} ~\{G ;\circ\}~ {G;∘} 为半群，若元素 e1∈G ~e_1 \in G~ e1​∈G 满足对 ∀a∈G,e1∘a=a ~\forall a \in G, e_1 \circ a = a~ ∀a∈G,e1​∘a=a ，则称 e1 ~e_1~ e1​ 为半群 G ~G~ G 的左幺元。类似的我们也可以定义右幺元。因为运算不一定满足交换律，所以我们这里分别定义了左、右幺元。左、右幺元的定义被不是完全等价的。很多时候两个幺元都存在，且是同一个，但也有时会只存在左（右）幺元。如果 e ~e~ e 即是左幺元也是右幺元，那么 e ~e~ e 就被称为幺元。若一个半群 G ~G~ G 有幺元，那么这个半群就被称为幺半群。这是我们加的第二个条件。仿照线性代数里的方法我们可以证明逆元的唯一性。设 {G;∘} ~\{G ;\circ\}~ {G;∘} 为幺半群， e ~e~ e 为幺元。对于 a∈G ~a \in G~ a∈G ，若元素 a′ ~a'~ a′ 满足 a′∘a=e ~a' \circ a = e~ a′∘a=e ，则称 a′ ~a'~ a′ 为 a ~a~ a 的左逆元。相应的，我们也可以定义右逆元。若 b ~b~ b 既是 a ~a~ a 的左逆元，又是 a ~a~ a 的右逆元，则 b ~b~ b 称为 a ~a~ a 的逆元。仿照线性代数里的方法我们可以证明逆元的唯一性。那么现在我们就可以定义群。非空集合 G ~G~ G 及其上的二元运算，称为群，如果它们满足下述三条公理：

1. 结合律成立，即对元素 a,b,c∈G ~a, b, c \in G~ a,b,c∈G ，有

(a∘b)∘c=a∘(b∘c)(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c) (a∘b)∘c=a∘(b∘c)

1. 存在幺元 e ~e~ e ，即对任意 e∈G ~e \in G~ e∈G ，有

a∘e=e∘a=aa \circ e = e \circ a = a a∘e=e∘a=a

1. G ~G~ G 上每个元素 a ~a~ a 均有逆元，即存在元素 a−1∈G ~a^{-1}\in G~ a−1∈G 使得

a∘a−1=a−1∘a=ea \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e a∘a−1=a−1∘a=e群的概念就是再增加了第三个条件，即每个元素都有逆元。实际上，群与对称关系密切相连，对称变换需要能做逆变换，群也就自然要定义逆元。要注意的是我们一开始就假定了 G ~G~ G 为非空集合。对于空集并非不能定义，而是定义出的运算没有任意意义，所以我们要假定集合 G ~G~ G 不为空集。对于二元运算 ∘ ~\circ~ ∘ ，我们称它为群的乘法。除此以外，群实际上还有一些其他的定义方式。它们内容上可能略有不同，但实际上都是等价的。如一种定义为，将上述的条件二和三分别改为左（右）幺元、左（右）逆元，仍然成立。元素个数有限的群称为有限群，其元素个数称为群的阶，记为 ∣G∣ ~|G|~ ∣G∣ .相应的，元素个数无限的群称为无限群，其阶为 ∞ ~\infty~ ∞ .群上的运算不一定要满足交换律，而如果满足的交换律，那么我们就称这个群为阿贝尔群或是交换群。我们常常用加法 ~ ~ 来表示阿贝尔群 G ~G~ G 上的二元运算。依照上面定义的群，有一个性质。设 G ~G~ G 为群，则消去律成立。即：若 a∘b=a∘c ~a\circ b = a\circ c~ a∘b=a∘c ，则 b=c ~b = c~ b=c ；若 b∘a=c∘a ~b\circ a = c\circ a~ b∘a=c∘a ，则 b=c ~b = c~ b=c .群的产生离不开对称性。在欧几里得空间中我们定义了距离，对于刚体运动，就是保持任意两点距离不变的线性变换。要保持距离，它肯定是一个线性同构，所以它也是可逆的。用我们刚刚写过的群的定义，不难发现这些变换的集合在复合运算下成为一个群。我们把它称为刚体运动群。这些刚体运动，也可以看成是一种对称性。那么也就是说，把所有的对称性放在一起就成了一个群。这样的群包含的内容是很广的。我们不妨考虑一个图形，比如一个平面图像 Γ ~\Gamma~ Γ .我们只考虑使得 Γ ~\Gamma~ Γ 整体不变的刚体运动，也就是说可能每个点都不在原来的位置了，但 Γ ~\Gamma~ Γ 仍然是与原来重合的。这个刚体运动也成为一个群。这个群就度量了这个图形 Γ ~\Gamma~ Γ 的对称性。下面给出几个特殊的群。

1. 设 A≠∅ ~A \neq \varnothing~ A=∅ ， S(A) ~S(A)~ S(A) 为 A ~A~ A 上所有可逆变换组成的集合。 S(A) ~S(A)~ S(A) 对运算 ∘ ~\circ~ ∘ 成一个群，称为 A ~A~ A 的全变换群。
2. 设 V ~V~ V 是数域 F ~F~ F 上的 n ~n~ n 维线性空间，其中 F=Q,R,C ~F = \mathbb{Q, R, C}~ F=Q,R,C 或 Fp ~\mathbb F_p~ Fp​ .由线性代数可知，取定 V ~V~ V 上的一组基，则 V ~V~ V 上线性变换由它在这组基下的 n ~n~ n 阶方阵唯一确定。记
3. Mn(F)={F 上 n 阶方阵}GLn(F)={F 上 n 阶可逆方阵}\mathrm{M}_n(F) = \{ F~ \text{上} ~n~ \text{阶方阵}\} \\ \mathrm{GL}_n(F) = \{ F~ \text{上} ~n~ \text{阶可逆方阵}\} Mn​(F)={F 上 n 阶方阵}GLn​(F)={F 上 n 阶可逆方阵}
4. 则 Mn(F) ~\mathrm{M}_n(F)~ Mn​(F) 在矩阵加法意义下是阿贝尔群，在乘法意义下是幺半群，但不是群。 GLn(F) ~\mathrm{GL}_n(F)~ GLn​(F) 在矩阵乘法意义下构成群，我们称之为 F ~F~ F 上的 n ~n~ n 阶一般线性群。若 n=1 ~n = 1~ n=1 那么它也是阿贝尔群。

群的阶，就是群中所含元素的个数。那么现在给出元素的阶的概念。设 G ~G~ G 为群， a∈G ~a \in G~ a∈G .若对任何 n∈N,an≠e ~n \in \mathbb N, a^n \neq e~ n∈N,an=e ，则称 a ~a~ a 的阶为无穷。若至少存在一个 m∈N ~m \in \mathbb N~ m∈N ，使 am=e ~a^m = e~ am=e ，则定义 a ~a~ a 的阶为 min⁡{k∈N∣ak=e} ~\min\{k \in \mathbb N \mid a^k = e\}~ min{k∈N∣ak=e} .元素 a ~a~ a 的阶具有一些性质。

1. a ~a~ a 的阶为1等价于 a=e ~a = e~ a=e .
2. a ~a~ a 的阶与 a−1 ~a^{-1}~ a−1 的阶相同。

设 G ~G~ G 为群， a∈G ~a \in G~ a∈G . a ~a~ a 的阶为 d ~d~ d .则有

1. ak=e  ⟺  d∣k ~a^k = e \iff d \mid k~ ak=e⟺d∣k .（ d∣k ~d\mid k~ d∣k 表示 k ~k~ k 能被 d ~d~ d 整除）
2. ak=ah  ⟺  d∣h−k ~a^k = a^h \iff d\mid h - k~ ak=ah⟺d∣h−k .
3. ak ~a^k~ ak 的阶为 d/(d,k) ~d / (d, k)~ d/(d,k) .（ (d,k) ~(d, k)~ (d,k) 表示 d ~d~ d 与 k ~k~ k 的最大公因数）
4. ak ~a^k~ ak 的阶为 d  ⟺  (d,k)=1~d \iff (d, k) = 1 d⟺(d,k)=1.

子群与商群讲了一个代数体系的定义以后，就不可缺少的要讲子体系和商体系。这样我们才能更好的研究它的结构，构造更多例子。设 G ~G~ G 为群。若 H ~H~ H 是 G ~G~ G 的子集，且对 G ~G~ G 的乘法运算构成群，则称 H ~H~ H 是 G ~G~ G 的子群，记为 H⩽G ~H \leqslant G~ H⩽G .如果 H≠G ~H \neq G~ H=G ，则称 H ~H~ H 为 G ~G~ G 的真子群，记为 H<G ~H < G~ H<G .由定义可以看出，我们沿用了群 G ~G~ G 上的运算，而没有定义新的运算。不难看出，对任意群 G ~G~ G ，一定有平凡子群 {1},G ~\{ 1 \}, G~ {1},G .由定义可知，要验证 H ~H~ H 为 G ~G~ G 的子群，只需要验证如下三点。即

1. e∈H ~e \in H~ e∈H .
2. 若 a∈H ~a \in H~ a∈H ，则 a−1∈H ~a^{-1} \in H~ a−1∈H .
3. 若 a,b∈H ~a, b \in H~ a,b∈H ，则 ab∈H ~ab \in H~ ab∈H .

不过我们用的更多的是下面的命题。非空子集合 H ~H~ H 是群 G ~G~ G 的子群当且仅当对任意 a,b∈H,ab−1∈H ~a, b \in H, ab^{-1} \in H~ a,b∈H,ab−1∈H .可以证明它们是等价的。设 V ~V~ V 为线性空间， dim⁡V<∞ ~\dim V < \infty~ dimV<∞ ， SV ~S_V~ SV​ 为 V ~V~ V 的全变换群。设 GL(V) ~GL(V)~ GL(V) 为所有可逆的线性变换组成的集合，则 GL(V)<SV ~GL(V) < S_V~ GL(V)<SV​ ， GL(V) ~GL(V)~ GL(V) 称为 V ~V~ V 上的一般线性群。记 SL(V) ~SL(V)~ SL(V) 为 V ~V~ V 中行列式等于 1 ~1~ 1 的线性变换组成的集合，则 SL(V)<GL(V) ~SL(V) < GL(V)~ SL(V)<GL(V) ， SL(V) ~SL(V)~ SL(V) 称为 V ~V~ V 上的特殊线性群。由子群的概念可以知道，设 H1<G,H2<G ~H_1 < G, H_2 < G~ H1​<G,H2​<G ，则 H1∩H2<G ~H_1 \cap H_2 < G~ H1​∩H2​<G .子群的交仍然是子群，不过子群的并就常常不是子群。介绍商群前，需要先介绍陪集的概念。设 G ~G~ G 为群， H<G,a∈G ~H < G, a \in G~ H<G,a∈G ，定义aH={ah∣h∈H}(Ha={ha∣h∈H})aH = \{ah \mid h \in H\}\quad (Ha = \{ha \mid h \in H\}) aH={ah∣h∈H}(Ha={ha∣h∈H})称为 a ~a~ a 为代表元的 H ~H~ H 的一个左陪集（右陪集）。待会就会看出来，把所有的陪集放在一起，就会构成 G ~G~ G 的一个分类。分类就会有等价关系。设 G ~G~ G 为群， H<G ~H < G~ H<G ，则关系aRb  ⟺  a−1b∈Ha R b \iff a^{-1}b \in H aRb⟺a−1b∈H为等价关系。 a ~a~ a 所在的等价类 a‾=aH ~\overline a = aH~ a=aH .故 a ~a~ a 的所有左陪集就构成了 G ~G~ G 的一个分类或是拆分。右陪集的定义相仿。由上述定理，我们就可以做出一个商集合。既然 aH ~aH~ aH 构成了 G ~G~ G 的分类，那么就有商集合 G/R ~G / R~ G/R ，对应的商群就是 G/H ~G / H~ G/H .我们把它称为 G ~G~ G 对 H ~H~ H 的左商集或 G ~G~ G 对 H ~H~ H 的左陪集空间。可以得到一个推论，对 a,b∈G,aH=bH  ⟺  a−1b∈H ~a,b \in G, aH = bH \iff a^{-1}b \in H~ a,b∈G,aH=bH⟺a−1b∈H .类似的结论对右商集也成立。设 H<G ~H < G~ H<G ，则 ∣G/H∣ ~\mid G / H\mid~ ∣G/H∣ 称为 H ~H~ H 在 G ~G~ G 中的指数，记为 [G:H] ~[G : H]~ [G:H] .我们有拉格朗日定理如下设 G ~G~ G 为有限群， H<G ~H < G~ H<G ，则 ∣G∣=[G:H]×∣H∣ ~\mid G \mid = [G : H] \times \mid H \mid~ ∣G∣=[G:H]×∣H∣ 有了陪集空间的概念，我们不禁要问，怎样的等价关系 R ~R~ R 才能使得其上有运算？因为有了运算才能构成群。显然我们不应当新定义一种运算，这样研究就失去了很多意义。我们当然希望利用原有的运算。我们接下来就要说，要想把 G ~G~ G 中的运算使用到 G/H ~G / H~ G/H 中，需要要求等价关系 R ~R~ R 为同余关系。即满足a1Rb1 a2Rb2 }  ⟹  a1a2Rb1b2\left. \begin{aligned} a_1 R b_1 ~\\ a_2 R b_2 ~ \end{aligned} \right\} \implies a_1 a_2 R b_1 b_2 a1​Rb1​ a2​Rb2​ ​}⟹a1​a2​Rb1​b2​也就是a1−1b1∈H a2−1b2∈H }  ⟹  a1−1a2−1b1b2∈H\left. \begin{aligned} a_1^{-1} b_1 \in H~\\ a_2^{-1} b_2 \in H~ \end{aligned} \right\} \implies a_1^{-1} a_2^{-1} b_1 b_2 \in H a1−1​b1​∈H a2−1​b2​∈H ​}⟹a1−1​a2−1​b1​b2​∈H由上式就可以导出，若 R ~R~ R 为同余关系，则充分必要条件为对 ∀g∈G,h∈H ~\forall g\in G, h\in H~ ∀g∈G,h∈H ，有g−1hg∈Hg^{-1}hg \in H g−1hg∈H设 G ~G~ G 为群， H<G ~H < G~ H<G .称 H ~H~ H 为 G ~G~ G 的正规子群，若 ∀g∈G,h∈H,g−1hg∈H ~\forall g \in G, h \in H, g^{-1}hg \in H~ ∀g∈G,h∈H,g−1hg∈H .记为 H⊲G ~H \lhd G~ H⊲G .正规子群有一些例子。例如

1. 平凡子群必为正规子群。
2. 若 G ~G~ G 为阿贝尔群，则任意子群均为正规子群。
3. SL(V)⊲GL(V) ~SL(V) \lhd GL(V)~ SL(V)⊲GL(V) .

正规子群有一些等价的定义。设 H<G ~H < G~ H<G ，则下列条件等价：

1. H⊲G ~H \lhd G~ H⊲G .
2. ∀g∈G,gH=Hg ~\forall g \in G, gH = Hg~ ∀g∈G,gH=Hg .
3. ∀g1,g2∈G,g1H⋅g2H=g1g2H ~\forall g_1, g_2 \in G, g_1 H \cdot g_2 H = g_1 g_2 H~ ∀g1​,g2​∈G,g1​H⋅g2​H=g1​g2​H .其中 g1H⋅g2H={g1h1g2h2∣h1,h2∈H} ~g_1 H \cdot g_2 H = \{g_1 h_1 g_2 h_2 \mid h_1, h_2 \in H\}~ g1​H⋅g2​H={g1​h1​g2​h2​∣h1​,h2​∈H}

实际上，同余关系和正规子群存在等价关系。我们有如下定理。设 H<G ~H < G~ H<G ，则等价关系 R ~R~ R ：aRb  ⟺  a−1b∈Ha R b \iff a^{-1}b \in H aRb⟺a−1b∈H是 G ~G~ G 的同余关系   ⟺  H⊲G ~\iff H \lhd G~ ⟺H⊲G .这时， G/H ~G / H~ G/H 对诱导的运算构成一个群，称为 G ~G~ G 对 H ~H~ H 的商群，记为 G/H ~G / H~ G/H .也就是说，所有的陪集空间构成一个商群。商群上的运算前面已经通过定义的方式给出过了，也就是 ∀g1,g2∈G,g1H⋅g2H=g1g2H ~\forall g_1, g_2 \in G, g_1 H \cdot g_2 H = g_1 g_2 H~ ∀g1​,g2​∈G,g1​H⋅g2​H=g1​g2​H .相应的，幺元就是 eH=H ~eH = H~ eH=H ，也就是它自身；逆元就是 g−1H ~g^{-1}H~ g−1H ，也就是相应的代表元取逆再找左陪集。下面给出一个有用的例子，同时也是为了方便理解商群。 {Z; } ~\{\mathbb Z ; \}~ {Z; } 为阿贝尔群， n∈N,mZ⊲Z,Z/mZ ~n \in \mathbb N, m\mathbb Z \lhd \mathbb Z, \mathbb Z / m\mathbb Z~ n∈N,mZ⊲Z,Z/mZ 为群。 Z/mZ ~\mathbb Z / m\mathbb Z~ Z/mZ 为 {0‾,1‾,2‾,...,m−1‾} ~\{\overline 0, \overline 1, \overline 2, ..., \overline{m-1}\}~ {0,1,2,...,m−1​} Z/mZ=Zm ~\mathbb Z / m\mathbb Z = \mathbb Z_{m}~ Z/mZ=Zm​ 称为模 m ~m~ m 的剩余类加群。群的同态与同构设 {G1;⋅},{G2;∗} ~\{G_1; \cdot\},\{G_2; *\}~ {G1​;⋅},{G2​;∗} 为群。 f ~f~ f 为 G1 ~G_1~ G1​ 到 G2 ~G_2~ G2​ 的映射，如果f(a⋅b)=f(a)∗f(b),∀a,b∈G1f(a\cdot b) = f(a) * f(b), \qquad \forall a,b\in G_1 f(a⋅b)=f(a)∗f(b),∀a,b∈G1​则称 f ~f~ f 为 G1 ~G_1~ G1​ 到 G2 ~G_2~ G2​ 的同态映射，简称同态。若同态 f ~f~ f 为单射（满射），则称 f ~f~ f 为单同态（满同态）。若同态 f ~f~ f 是双射，则称 f ~f~ f 为同构。这时称 G1 ~G_1~ G1​ 与 G2 ~G_2~ G2​ 同构，记为 G1≃G2 ~G_1 \simeq G_2~ G1​≃G2​ .同态非常广泛，但这通常意义不大。我们研究更多的是同构。同构给了我们一种分类。如果两个群同构，我们基本就会把它们看成是一样的。下面给出一个有用的同态。设 H⊲G,π:G→G/H ~H \lhd G, \pi: G \to G / H~ H⊲G,π:G→G/H 为自然映射。 π ~\pi~ π 为群的同态，我们将其称为自然同态。设 f:G1→G2 ~f: G_1 \to G_2~ f:G1​→G2​ 为群的同态，则 f(G1)<G2 ~f(G_1) < G_2~ f(G1​)<G2​ .这也就是说，若两个群同态，则群 G1 ~G_1~ G1​ 的象是群 G2 ~G_2~ G2​ 的子群。下面给出有关同态的核的概念。设 f:G1→G2 ~f: G_1 \to G_2~ f:G1​→G2​ 为同态。定义Ker f={a∈G1∣f(a)=e2}\mathrm{Ker}~f = \{a\in G_1\mid f(a) = e_2\} Ker f={a∈G1​∣f(a)=e2​}也就是 G1 ~G_1~ G1​ 里在 f ~f~ f 的作用下得到幺元的元素组成的集合称为核。那么我们有如下结论。Ker f ⊲ G1\mathrm{Ker}~f ~\lhd~G_1 Ker f ⊲ G1​也就是说， G1 ~G_1~ G1​ 中通过 f ~f~ f 映射到幺元的元素组成的子群是 G1 ~G_1~ G1​ 的正规子群。设 H⊲G,π:G→G/H ~H\lhd G, \pi : G \to G/H~ H⊲G,π:G→G/H 为自然同态，则 Ker π=H. 其中π(a)=aH. ~\mathrm{Ker}~\pi = H.~\text{其中}\pi(a) = aH.~ Ker π=H. 其中π(a)=aH. 有了上面的铺垫，我们就可以得到群的同态基本定理。设 f:G!→G2 ~f: G_! \to G_2~ f:G!​→G2​ 为满同态（不是满同态可考虑象集），则 G1/Ker f≃G2 ~G_1 / \mathrm{Ker}~f \simeq G_2~ G1​/Ker f≃G2​ .由此可以看出，同态 f:G1→G2 ~f: G_1 \to G_2~ f:G1​→G2​ 为单同态   ⟺  Ker {e1} ~\iff\mathrm{Ker}~\{e_1\}~ ⟺Ker {e1​} .到目前为止我们就只提到过同台基本定理这一个可以得到同构的结论，所以这是很好的构造同构的方法。同态基本定理的左边是一个商群，其元素是 G1 ~G_1~ G1​ 的子集合。也就是说 G1 ~G_1~ G1​ 的子集合与 G2 ~G_2~ G2​ 的元素有一种一一对应的关系。那么可以看出，商群就是把某些共同的东西商掉了，全部具有某种共性的元素组成的集合和 G2 ~G_2~ G2​ 是一一对应的。相应的，当 f ~f~ f 的核只有一个元素时，商群的每个元素也都是只有一个元素的集合，这时我们就不妨把商群看作 G1 ~G_1~ G1​ 本身。当同态不是满同态的时候，我们可以考虑象集合。即可以得到G1/Ker f≃f(G2)G_1 / \mathrm{Ker}~f \simeq f(G_2) G1​/Ker f≃f(G2​)那么不论同态是怎样的，我们都总是可以得到有两个群是同构的。从这个意义上讲，我们可以把群的同态象和商群看作一回事。对于满同态，还有一些性质。设 f:G1→G2 ~f: G_1 \to G_2~ f:G1​→G2​ 为满同态， N=Ker f ~N = \mathrm{Ker}~f~ N=Ker f .

1. f ~f~ f 建立 G1 ~G_1~ G1​ 包含 N ~N~ N 的子群与 G2 ~G_2~ G2​ 的子群之间的一一对应关系。
2. 上述对应关系将正规子群对应到正规子群。
3. 若 H⊲G1,N⩽H ~H \lhd G_1, N\leqslant H~ H⊲G1​,N⩽H ，则 G1/H≃G2/f(H) ~G_1/H \simeq G_2/f(H)~ G1​/H≃G2​/f(H) .

第一条所讲的就是这建立了 {K<G1∣N⩽K} ~\{K < G_1 \mid N\leqslant K\}~ {K<G1​∣N⩽K} 到 {K′<G2} ~\{K' < G_2\}~ {K′<G2​} 即 K↦f(K) ~K \mapsto f(K)~ K↦f(K) 的一一对应关系。第二条所讲的就是建立了 {K⊲G1∣N⩽K} ~\{K\lhd G_1 \mid N\leqslant K\}~ {K⊲G1​∣N⩽K} 到 {K′⊲G2} ~\{K'\lhd G_2\}~ {K′⊲G2​} 的映射。并且这个也是一一对应的。第三条所讲的就是如果我们还能找到一个正规子群，则又可以得到一个同构的关系。我们还可以得到如下推论。设 N⊲G ~N \lhd G~ N⊲G ， π ~\pi~ π 为自然同态 π:G→G/N ~\pi: G\to G / N~ π:G→G/N .则 π ~\pi~ π 建立了 G ~G~ G 中包含 N ~N~ N 的子群到 G/N ~G / N~ G/N 的子群之间的一一对应关系。并且这个映射将正规子群对应到正规子群。并且若 H ~H~ H 是 G ~G~ G 的正规子群，且 H⩽N ~H \leqslant N~ H⩽N .则 G/H≃(G/H)/(H/N) ~G/H \simeq (G/H)/(H/N)~ G/H≃(G/H)/(H/N) .接下来介绍本节最后一个定理。设 N⊲G,π:G→G/N ~N \lhd G, \pi: G \to G/N~ N⊲G,π:G→G/N 为自然同态， H<g ~H < g~ H<g ，则有

1. HN ~HN~ HN 为 G ~G~ G 中包含 N ~N~ N 的子群，且 HN=π−1(π(H)) ~HN = \pi^{-1}(\pi(H))~ HN=π−1(π(H)) .即 HN ~HN~ HN 为 π(H) ~\pi(H)~ π(H) 的原象。
2. (H∩N)⊲H,Ker (π∣H)=H∩N ~(H\cap N)\lhd H, \mathrm{Ker}~(\pi\big|_{H}) = H\cap N~ (H∩N)⊲H,Ker (π∣∣∣​H​)=H∩N .
3. (HN)/N≃H/(H∩N) ~(HN) / N \simeq H / (H\cap N)~ (HN)/N≃H/(H∩N) .

循环群设 G ~G~ G 为群，若存在元素 a∈G ~a\in G~ a∈G ，使 G={an∣n∈Z} ~G = \{ a^n \mid n \in \mathbb Z \}~ G={an∣n∈Z} ，则称 G ~G~ G 为循环群。记为 G=<a> ~G = <a>~ G=<a> ，称 a ~a~ a 为生成元。如，整数加群 {Z; } ~\{ \mathbb Z; \}~ {Z; } 为循环群。由这个例子也可以看出，生成元不是唯一的，如此处 1 ~1~ 1 和 −1 ~-1~ −1 都是生成元。又如，群 Um={c∈C∗∣cm=1} ~U_m = \{ c\in \mathbb C^* \mid c^m = 1 \}~ Um​={c∈C∗∣cm=1} 对乘法为循环群。它的本源根为生成元。循环群一定是交换群。循环群的子群为循环群。那么可以推出，整数加群 {Z; } ~\{ \mathbb Z ; \}~ {Z; } 的任何子群都形如 mZ ~m\mathbb Z~ mZ ，其中 m⩾0 ~m \geqslant 0~ m⩾0 .设 G ~G~ G 为循环群。若 ∣G∣=∞ ~\mid G \mid = \infty~ ∣G∣=∞ ，则 G≃{Z; } ~G \simeq \{ \mathbb Z; \}~ G≃{Z; } ；若 ∣G∣=m>0 ~\mid G \mid = m > 0~ ∣G∣=m>0 ，则 G≃Z/mZ=Zm(≃Um) ~G \simeq \mathbb Z / m\mathbb Z = \mathbb Z_m(\simeq U_m)~ G≃Z/mZ=Zm​(≃Um​) .也就是说，可以认为无穷阶循环群只有一个，就是整数加群；剩下的循环群都可以看作是整数加群的商群。可以看出，两个循环群同构   ⟺   ~\iff~ ⟺ 它们的阶相同。设 G=<a>,∣G∣=m,n∈N,n∣m. ~G = <a>,\mid G \mid = m, n\in \mathbb N, n\mid m.~ G=<a>,∣G∣=m,n∈N,n∣m. 则 G ~G~ G 中存在唯一的 n ~n~ n 阶子群。设 G ~G~ G 为有限群， ∣G∣=m. ~\mid G \mid = m.~ ∣G∣=m. 则 G ~G~ G 为循环群   ⟺   ~\iff~ ⟺ 对 m ~m~ m 的任何正整数因子 n ~n~ n ，存在唯一的 n ~n~ n 阶子群。设 ∣G∣=m,a∈G ~\mid G \mid = m, a \in G~ ∣G∣=m,a∈G ， a ~a~ a 的阶为 d ~d~ d ，则 d∣m ~d \mid _m~ d∣m​ .也就是说，有限群中任何一个元素的阶一定是群的阶的因子。变换群与置换群任何一个群都可以看作变换群。设 A ~A~ A 为非空集合， SA ~S_A~ SA​ 为 A ~A~ A 的全变换群。 SA ~S_A~ SA​ 的子群称为 A ~A~ A 的一个变换群。置换群是变换群在有限时的情形。若 ∣A∣<∞,∣A∣=n,SA=Sn ~\mid A\mid < \infty, \mid A \mid = n, S_A = S_n~ ∣A∣<∞,∣A∣=n,SA​=Sn​ ，称为 n ~n~ n 元对称群。 Sn ~S_n~ Sn​ 的子群称为 n ~n~ n 元置换群。 Sn ~S_n~ Sn​ 中的元素称为 n ~n~ n 元置换例如，二维欧几里得空间中的旋转构成一个变换群。Cayley定理：任何群一定与一个变换群同构。这个定理就将群具体化了。这也是“对称即群”这句话的一个解释。任何群都能看作变换群，变换群可以看作某种对称操作。下面研究 Sn ~S_n~ Sn​ . A ~A~ A 中有有限个元素，不妨就记为 A={1,2,⋯ ,n} ~A = \{ 1, 2, \cdots, n \}~ A={1,2,⋯,n} . ∀σ∈Sn ~\forall \sigma \in S_n~ ∀σ∈Sn​ 记为 (i1 i2 ⋯ in1 2 ⋯ n) ~(_{i_1~i_2~\cdots~i_n}^{1~~2~~\cdots~n})~ (i1​ i2​ ⋯ in​1 2 ⋯ n​) .表示 σ(1)=i1,σ(2)=i2,⋯ ,σ(n)=in ~\sigma(1)=i_1, \sigma(2)=i_2,\cdots,\sigma(n)=i_n~ σ(1)=i1​,σ(2)=i2​,⋯,σ(n)=in​ . σ ~\sigma~ σ 是可逆变换，那么 i1,i2,⋯ ,in ~i_1,i_2,\cdots,i_n~ i1​,i2​,⋯,in​ 是不重复的。也就是说 i1,i2,⋯ ,in ~i_1,i_2,\cdots,i_n~ i1​,i2​,⋯,in​ 是 1,2,⋯ ,n ~1, 2, \cdots, n~ 1,2,⋯,n 的一个排列。反之， 1,2,⋯ ,n ~1, 2, \cdots, n~ 1,2,⋯,n 的任何一个排列都是 Sn ~S_n~ Sn​ 中的元素。那么可以知道， ∣Sn∣=n! ~\mid S_n \mid = n!~ ∣Sn​∣=n! .我们定义一类特殊的置换。设 σ∈Sn ~\sigma \in S_n~ σ∈Sn​ ，若存在 i1,i2,⋯ ,in∈{1,2,⋯ ,n} ~i_1, i_2, \cdots, i_n \in \{ 1, 2, \cdots, n \}~ i1​,i2​,⋯,in​∈{1,2,⋯,n} ，使σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,⋯ ,σ(ir)=i1\sigma(i_1) = i_2, \sigma(i_2) = i_3, \cdots, \sigma(i_r) = i_1 σ(i1​)=i2​,σ(i2​)=i3​,⋯,σ(ir​)=i1​而对 ∀k∉{i1,i2,⋯ ,ir},σ(k)=k ~\forall k \notin \{ i_1, i_2, \cdots, i_r \},\sigma(k) = k~ ∀k∈/{i1​,i2​,⋯,ir​},σ(k)=k .称 σ ~\sigma~ σ 为一个 r ~r~ r 阶轮换，或称 r−~r - r−循环置换。 i1,i2,⋯ ,in ~i_1, i_2, \cdots,i_n~ i1​,i2​,⋯,in​ 称为 σ ~\sigma~ σ 的文字， r ~r~ r 为轮换 σ ~\sigma~ σ 的长。记为 σ=(i1 i2 ⋯ ir) ~\sigma = (i_1 ~ i_2 ~ \cdots ~ i_r)~ σ=(i1​ i2​ ⋯ ir​) .可以看出，根据阶的定义， σ ~\sigma~ σ 的阶为 r ~r~ r .这也是我们将其称为 r ~r~ r 阶轮换的原因。设 σ=(i1,i2,⋯ ,ir),τ=(j1,j2,⋯ ,js) ~\sigma = (i_1,i_2,\cdots,i_r),\tau=(j_1,j_2,\cdots,j_s)~ σ=(i1​,i2​,⋯,ir​),τ=(j1​,j2​,⋯,js​) 为 Sn ~S_n~ Sn​ 中的两个轮换。若 {i1,i2,⋯ ,ir}∩{j1,j2,⋯ ,js}=∅ ~\{ i_1,i_2,\cdots,i_r \}\cap\{ j_1,j_2,\cdots,j_s \} = \varnothing~ {i1​,i2​,⋯,ir​}∩{j1​,j2​,⋯,js​}=∅ ，则称 σ ~\sigma~ σ 与 τ ~\tau~ τ 是不相交的轮换。我们可以用轮换来表示置换。实际上，是用不相交的轮换之积来表示一个置换。任一 Sn ~S_n~ Sn​ 中的置换都可以表示为不相交的轮换之积。若不计轮换的次序，则表示法是唯一的。我们这里说到不计次序，实际上不相交的轮换是交换的。比如在上面的例子中，有 στ=τσ ~\sigma\tau = \tau\sigma~ στ=τσ .设 σ=σ1σ2⋯σs ~\sigma = \sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_s~ σ=σ1​σ2​⋯σs​ 为不相交的轮换之积，其中 σi ~\sigma_i~ σi​ 为 ri ~r_i~ ri​ -轮换，则 σ ~\sigma~ σ 的阶为 [r1,r2,⋯ ,rs] ~[r_1, r_2, \cdots, r_s]~ [r1​,r2​,⋯,rs​] .其中方括号表示最小公倍数。当一个轮换是 2 ~2~ 2 -轮换的时候，我们称其为对换。任何置换都能写为对换的乘积。当然，此时不是唯一的，也不是不相交的。但是，写成的对换的奇偶性是不变的。线性代数中奇排列偶排列就是这样确定的。相应的，写成奇数个我们就称为奇置换；写成偶数个我们就称为偶置换。奇置换乘奇置换为偶置换；奇置换乘偶置换为奇置换；偶置换乘偶置换为偶置换。奇（偶）置换的逆仍为奇（偶）置换。这与奇数和偶数的加法类似。令 An={σ∈Sn∣σ 为偶置换} ~A_n = \{ \sigma \in S_n \mid \sigma~\text{为偶置换} \}~ An​={σ∈Sn​∣σ 为偶置换} .由上面的定理可以知道 An ~A_n~ An​ 是 Sn ~S_n~ Sn​ 的子群。实际上有An⊲Sn.∣An∣=n!2A_n \lhd S_n.\qquad \mid A_n\mid = \frac{n!}{2} An​⊲Sn​.∣An​∣=2n!​我们把 An ~A_n~ An​ 称为交错群。下面我们定义自同构。设 G ~G~ G 为群，若 σ:G→G ~\sigma : G \to G~ σ:G→G 为群同构，称 σ ~\sigma~ σ 为自同构。 G ~G~ G 的所有自同构构成一个群，称为 G ~G~ G 的自同构群。记为 Aut G ~\mathrm{Aut}~G~ Aut G .且有 Aut G<SG ~\mathrm{Aut}~G < S_G~ Aut G<SG​ .设 G ~G~ G 为群， a∈G ~a \in G~ a∈G ，定义 σa ~\sigma_a~ σa​ 为 G ~G~ G 到 G ~G~ G 的映射： σa(g)=aga−1,∀g∈G ~\sigma_a(g) = aga^{-1}, \forall g\in G~ σa​(g)=aga−1,∀g∈G .令 Inn G={σa∣a∈G} ~\mathrm{Inn}~G = \{ \sigma_a \mid a \in G \}~ Inn G={σa​∣a∈G} ，则 Inn G⊲Aut G ~\mathrm{Inn}~G \lhd \mathrm{Aut}~G~ Inn G⊲Aut G . Inn G ~\mathrm{Inn}~G~ Inn G 中元素称为内自同构， Inn G ~\mathrm{Inn}~G~ Inn G 称为内自同构群。作 f:G→Inn G ~f : G \to \mathrm{Inn}~G~ f:G→Inn G ，使 f(a)=σa ~f(a) = \sigma_a~ f(a)=σa​ .则 f ~f~ f 为群之间的满同态。 Ker f={a∈G∣σa=id} ~\mathrm{Ker}~f = \{ a \in G \mid \sigma_a = id \}~ Ker f={a∈G∣σa​=id} 即 σa ~\sigma_a~ σa​ 为恒等映射。即有 Ker f={a∈G∣ag=ga,∀g∈G} ~\mathrm{Ker}~f = \{ a \in G \mid ag = ga,\forall g \in G \}~ Ker f={a∈G∣ag=ga,∀g∈G} . Ker f ~\mathrm{Ker}~f~ Ker f 称为 G ~G~ G 的中心，记为 C(G) ~C(G)~ C(G) .则有 C(G)⊲G ~C(G) \lhd G~ C(G)⊲G 且 Inn G≃G/C(G) ~\mathrm{Inn}~G \simeq G/C(G)~ Inn G≃G/C(G) .例如四元群只有两种结构。一种为循环群，一种为 Klein ~\mathrm{Klein}~ Klein 四元群。 Klein ~\mathrm{Klein}~ Klein 四元群的群表为e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 六阶群只有两种结构。一种为循环群，一种为 S3 ~S_3~ S3​ . S3 ~S_3~ S3​ 为非交换群中阶最小的群。Author: AxehoLink: http://home.ustc.edu.cn/~zhengjiming/2020/06/17/abstract-algebra/Copyright Notice: All articles in this blog are licensed under CC BY-NC-SA 4.0 unless stating additionally.数学微信扫一扫：分享微信里点“发现”，扫一下二维码便可将本文分享至朋友圈。

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