微分和增量的比较(增量与微分之间的差距为什么是高阶无穷小)
这个问题首先可以从一元函数的微分入手。
首先是高阶无穷小的定义:
上图是高阶无穷小的来历。
微分定义中出现了高阶无穷小。
图0
以上证明过程可以清晰看到微分中高阶无穷小出现的原因。首先是根据导数的定义得出a,这个a是肯定会随着Δx趋于0而趋于0的,因为Δy/Δx就是导数的定义,而当Δx趋于0的时候,导数得到精确值f'(x0),所以a是Δx趋于0时候的无穷小,a再乘以Δx得到aΔx,当然就是Δx趋于0时的高阶无穷小。
以上是极限的定义。
以上是Δy和dy是等价无穷小的证明,所以两者在Δx趋于0时可以相互替代。
上图是Δy和dy的几何意义。对于x轴上固定两点x和x Δx,Δy表示的是曲线上相对应两点的高度变化,也就是函数值的变化;dy表示的是切线上相对应两点的高度变化。很明显,当Δx趋于0时,两者趋于一致。高阶无穷小就是曲线上变化的高度减去切线上变化的高度Δy-dy。
下面是多元函数的情况。
图1
上图证明过程中,通过多元函数的连续定义,引入了无穷小epsilon1。为了搞清楚这个问题,首先看多元函数的极限定义:
图2
然后是多元函数连续性定义:
图3
与一元函数连续性定义对比:
图4
上图中出现了epsilon。与图1对比,f(x)就是
,而f(x0)就是
图4中的epsilon肯定会随着x趋于x0而趋于0,这一点很容易由下图的连续函数几何意义看出来:
上图中的Δy就是f(x)-f(x0)。很明显,当Δx趋于0时,Δy也趋于0。
而对于多元函数来说,这个Δx就是下图中的PP0,也就是图1中的epsilon1。很明显,这个epsilon1就相当于图0中的a,而PP0也相当于图0中的Δx,所以图1中的epsilon1会随着PP0(也就是p)趋于0而趋于0。
上图的目的正是为了证明全增量Δz与全微分dz之间的差距
是图2中
的高阶无穷小。
全增量Δz与全微分dz的几何意义如上图。由于
从切平面的方程可以看出,由于z-z0就是dz,x-x0就是dx,y-y0就是dy。
如上图所示,假设A点坐标是(x,y),B点坐标是
则由这两点在xoy平面向上作两条垂线(这里过A点的垂线与曲面的交点就是M),与切平面交点之间的高度差就是全微分
,而与曲面两个交点之间的高度差就是全增量
,
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