宇宙中的数学到底有多大（宇宙是什么形状）

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导读

为什么早期的人类认为地球是平的？在他们能够观察到的尺度上，地球的曲率太小以至于无法探测。球面形状或双曲形状越大，每个小块就越平坦，所以如果我们的宇宙是一个非常非常大的球面形状或双曲形状，我们可以观察到的部分就会如此接近平面，其曲率只能期盼未来的超精密仪器来检测。

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「原题：What Is the Geometry of the Universe?」

「作者：ERICA KLARREICH译者：我叫熊猫大侠」

来源：https://www.quantamagazine.org/what-is-the-geometry-of-the-universe-20200316/

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在我们的心中，宇宙似乎永远存在。但利用几何，我们可以探索各种三维形状，它们是“普通”的无限空间的替代品。

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当你凝视夜空时，空间似乎朝着四面八方无限延伸。这是我们对宇宙的心智模型，但它不一定是正确的。毕竟，有一段时间，每个人都认为地球是平的，因为我们地球的曲率太微妙以至于无法探测到，球形的地球是不可思议的。

如今，我们都知道地球的形状是一个球。但是我们大多数人很少思索宇宙的形状。正如球是平面地球的替代品，其他三维形状也提供了“普通”无限空间的替代品。

关于宇宙的形状，我们可以提出两个不同但又相互关联的问题。一个是关于它的几何：例如角度和面积等精巧的局部测量。另一个是关于它的拓扑：这些局部部件是如何缝合在一起拼成一个整体形状的。

宇宙学证据表明，我们能看到的那部分宇宙至少可以近似地认为是光滑而齐次的。空间的局部构造在每个点和每个方向上都是一样的。只有三种几何符合这种描述：平坦几何、球面几何和双曲几何。让我们来探索这些几何，还有一些拓扑考量，以及宇宙学证据表明哪个形状最能描述我们的宇宙。

平坦几何

这是我们在中小学学的几何。三角形的内角和为180度，圆的面积为。最简单的平坦的三维图形的例子是普通的无限空间——数学家们称为欧几里得空间——但也有其他的平坦形状需要考虑。

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这些形状很难想象，但是我们可以通过二维来建立一些直觉。除了普通的欧几里得平面外，我们还可以通过剪切平面的某些部分并将其边缘粘在一起来创造其他平坦形状。例如，假设我们剪下一张长方形纸，把它的对边粘起来：把顶边和底边贴起来，我们得到一个圆柱体：

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接着可以把左右两边粘起来，得到一个“甜甜圈”(数学家们称之为环面)：

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现在，你可能会想，“在我看来这并不平坦”。你说的有点道理。我们在描述平坦环面时做了一点手脚。如果你真的想用这种方法用一张纸上做出一个环面，你会遇到困难。制作圆柱很容易，但是把圆柱的两端粘起来是做不到的：环面内圈的纸会变皱，而外圈的纸不可能被拉得足够长。你得用一些有弹性的材料来代替纸。但是这种拉伸扭曲了长度和角度，改变了几何特征。

在普通的三维空间中，没有办法在不扭曲平坦几何特征的情况下，用平面材料构建一个真实的、光滑的物理环面模型。但我们可以想象出生活在平坦环面上的感觉。

想象你是一个二维生物，它生活的宇宙是一个平坦环面。因为这个宇宙的几何来自于一张平坦的纸，所有几何事实都和平常一样，至少在小范围内是这样的：三角形的内角和是180度，等等。但我们通过切割和粘贴使得拓扑结构发生了改变，这意味着生活在环面上的体验将与我们过去习惯的感觉大不相同。

第一点：环面上有一些直线路径可以绕一圈回到它们开始的地方：

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这些路径在环面上看起来是弯曲的，但是对于平坦环面上的居民来说，他们觉得它们是直的。因为光是沿着直线传播的，如果你沿着某个方向向前看，你会看到你自己的后背：

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在最初的那张纸上，你看到的光好像是从你身后来的，直到它照到左边，然后又出现在右边，就好像你在玩一个穿越式的电子游戏：

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一个等价的思考方法是，如果你(或一束光)穿过四个边的某一个，你会出现在一个新的“房间”里，但实际上它们是同一个房间，只有了一个新视角。当你在这个宇宙中漫步时，你可以穿越到无数个你原来房间的复制房间里。

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这意味着你也可以从不同的方向看到无限多个不同的自己。这类似于你看大厅镜子里的自己，只是这里你的复制品不是反射：

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在甜甜圈上，它们对应着许多不同的回路，通过这些回路，光可以从你身后照回到你身上：

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类似地，我们可以通过粘住立方体或其他盒子的相对面来构建一个平坦的三维环面。我们不能把这个空间想象成普通无限空间中的一个物体——它根本就不在其中——但我们可以抽象地想象其中的生物。

就像二维环面中的生物生活在一个由无数个相同的矩形房间组成的二维方阵一样，三维环面中的生物就像生活在一个由无数个相同的立方体房间组成的三维方阵中。你会看到无数个你自己的复制品：

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三维环面只是10个不同的有限平坦世界中的一个。也有无限的平坦世界，如无限圆柱的三维类似物。在每个世界里，都有不同的大厅镜子的阵列供您体验。

我们的宇宙是这些其他平坦形状之一吗？

当我们向太空望去，我们看不到无数个我们自己的复制品。尽管如此，要排除这些平坦形状还是相当困难的。首先，它们都具有与欧几里得空间相同的局部几何性质，因此任何局部测量都无法区分它们。

如果你确实看到了自己的复制品，那么那个遥远的图像就会显示出你(或者你所在的星系)在遥远过去的样子，因为光线要经过很长时间才能到达你那里。也许我们看到的是我们自己无法辨认的复制品。更糟糕的是，你的不同的复制品通常和你有不同的距离，所以他们中的大多数看起来都不一样。也许它们离我们太远了，我们根本看不见。

为了克服这些困难，天文学家们通常不是寻找我们自身的复制品，而是寻找我们所能看到的最遥远事物的重复特征：大爆炸后不久遗留下来的宇宙微波背景辐射(CMB)。在实践中，这意味着在CMB中寻找具有匹配模式的热点和冷点的圆对，这表明它们实际上是从两个不同的方向看到的同一个圆。

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2015年，天文学家利用普朗克太空望远镜得到的数据进行了这样的研究。他们对数据进行了处理，寻找我们期望在平坦三维环面或另一种称为slab的平坦三维形状中看到的相匹配的圆，但他们没有找到。这意味着，如果我们确实生活在一个环面上，它可能非常大，以至于任何重复的模式都在可观测的宇宙之外。

球面几何

我们都熟悉二维球——一个球的表面，或一个橘子的表面，或地球的表面。但我们的宇宙是一个三维球面意味着什么呢？

很难想象一个三维球面，但是通过一个简单的类比可以很容易地定义它。就像二维球面是所有到普通三维空间中某个中心点的距离都相等的点的集合，三维球面是所有到四维空间中某个中心点的距离都相等的点的集合。

在三维球面上的生活和在平坦空间里的生活感觉非常不同。为了感受一下，想象你是一个生活在二维球面上的二维生物。二维球面就是整个宇宙——你无法看到或进入周围的任何三维空间。在这个球面宇宙中，光沿着最短的可能路径传播：大圆。对你来说，这些大圆就像直线。

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现在想象一下，你和你的二维朋友在北极点闲逛，你的朋友出去散步。当你的朋友走后，一开始他在你的视野里会越来越小，就像在我们平常的世界里一样(尽管他们不会像我们习惯的那样迅速缩小)。这是因为随着你的视野范围的扩大，你的朋友所占的比例越来越小：

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但是一旦你的朋友越过赤道，奇怪的事情就发生了：他们离你越远，看起来就会越来越大。这是因为他们在你的视野范围内所占的比例在增加：

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当你的朋友离南极点只有10步远的时候，他们看起来和离你10步远的时候一样大：

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当他到达南极点时，你可以从任何方向看到他，所以他填满了你的整个视野：

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如果南极没有人，你看到的会变得更加奇怪：你会看到你自己。那是因为从你身上离开的光会绕着球面转一圈，直到它回到你身上。

这可以直接推广到三维球面中的生物。三维球面上的每个点都有一个相对的点，如果那里有一个物体，我们看到的它就是整个背景，就好像它是天空一样。如果那里什么都没有，我们就会把自己当作背景，就好像我们的外貌覆在一个气球上面，然后从里到外膨胀成整个视野范围。

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虽然三维球面是球面几何的基本模型，但它并不是唯一的这种空间。就像我们从欧几里得空间中切出一块并将其粘合在一起来创造不同的平坦空间一样，我们也可以通过粘合三维球面中适当的部分来创造球面空间。与环面一样，每一个粘在一起的形状都有大厅镜面效果，但在这些球面形状中，只有有限个房间可以穿越。

我们的宇宙是球面空间吗？

即使是最自恋的人也不会把自己作为整个夜空的背景。但是就像平坦环面一样，我们没有看到某种现象，并不意味着它不存在。球形宇宙的周长可能比可观测宇宙的周长还大，这使得背景离我们太远而看不见。

但与环面不同的是，球形宇宙可以只通过局部测量来探测。球面形状与无限欧几里得空间的区别不仅在于它们的整体拓扑结构，还在于它们的精细几何结构。例如，因为球面几何中的直线是大圆，所以三角形比欧几里得的三角形更膨胀，内角和超过180度：

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事实上，测量宇宙中的三角形是宇宙学家检验宇宙是否弯曲的基本方法。对于宇宙微波背景中的每一个冷点或热点，它的直径和它到地球的距离都是已知的，这可以形成了一个三角形的三条边。我们可以测量这些弧在夜空中的角度——即三角形的三个角之一。然后我们可以检查边长和角度的组合是否符合平坦几何、球面几何或双曲几何(其中三角形的内角和小于180度)。

大多数这样的测试，连同其他的曲率测量，表明宇宙要么是平坦的，要么非常接近平坦。然而，一个研究团队最近提出（https://www.quantamagazine.org/what-shape-is-the-universe-closed-or-flat-20191104/），普朗克空间望远镜2018年发布的某些数据指向这是一个球形宇宙，尽管其他研究人员反驳说，这一证据很可能是统计上的侥幸。

双曲几何

不像球面本身是向内弯曲的，双曲几何是向外张开的。它是软帽子、珊瑚礁和马鞍的几何。双曲几何的基本模型是一个无限的空间，就像平坦的欧几里得空间。但是由于双曲几何比平面几何向外扩张的速度快得多，所以即使是二维双曲平面也无法放置于普通的欧几里得空间中，除非我们愿意扭曲它的几何特征。例如，这是一个被称为庞加莱圆盘的双曲平面的变形图：

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从我们的角度来看，边界圆附近的三角形看起来比中心附近的三角形小得多，但是从双曲几何的角度来看，所有三角形的大小都是一样的。如果我们试图使三角形的大小相同,也许要用有弹性的材料来制作圆盘，从中心向外让每个三角形膨胀——我们的圆盘开始像一顶软帽子，从中心向外会越来越弯曲。当我们接近边界时，这种弯曲将会失去控制。

从双曲几何的角度来看，边界圆与任何内点的距离都是无限远的，因为你必须穿过无穷多个三角形才能到达那里。双曲平面向四面八方无限延伸，就像欧几里得平面一样。但就局部几何而言，双曲平面中的生活与我们习惯的非常不同。

在一般的欧几里得几何中，圆的周长与半径成正比，但在双曲几何中，圆的周长与半径成指数关系。我们可以看到，在双曲圆盘边界附近堆积的三角形数量呈指数增长。

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由于这个特性，数学家们常说在双曲空间中很容易迷路。如果你的朋友们在普通的欧几里得空间中离你而去，他们看起来会越来越小，但变化很慢，因为你的视界并没有增长得那么快。但在双曲空间中，你的视界呈指数级增长，所以你的朋友们很快就指数级缩小成小点。如果你没有跟上你朋友们的步伐，你以后几乎不可能再找到他们。

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在双曲几何中，三角形的内角和小于180度，例如，在下图中，三角形的内角和为165度：

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这些三角形的边看起来不是直线，但这是因为我们通过一个扭曲的镜头来观察双曲几何。对于居住在庞加莱圆盘上的人来说，这些曲线就是直线，因为从 A 点到 B 点最快的方式是走这样一条捷径：

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有一种很自然的方法可以制作一个三维的庞加莱圆盘模型——只需制作一个三维球体，然后用三维形状填充它，当它们接近边界球面时，就会变小，就像庞加莱圆盘上的三角形一样。就像平坦几何和球面几何一样，我们可以通过切割和粘合三维双曲球体的适当部分得到其他三维双曲空间的组合。

我们的宇宙是双曲空间吗？

双曲几何，连同狭窄的三角形和指数增长的圆，似乎与我们生活的周围空间的几何不相符。事实上，正如我们已经看到的，到目前为止，大多数宇宙测量似乎都倾向于宇宙是平坦的。

但我们不能排除我们生活在一个球面世界或双曲世界的可能性，因为这两个世界在小范围看起来几乎是平坦的。例如，在球面几何中，小三角形的内角和仅略大于180度，而在双曲几何中，小三角形的内角和仅略小于180度。

这就是为什么早期的人类认为地球是平的——在他们能够观察到的尺度上，地球的曲率太小以至于无法探测。球面形状或双曲形状越大，每个小块就越平坦，所以如果我们的宇宙是一个非常非常大的球面形状或双曲形状，我们可以观察到的部分就会如此接近平面，其曲率只能期盼未来的超精密仪器来检测。

扩展阅读：

梁羽生笔下的华罗庚 | 和乐数学

背景简介：文章于2020年3月27日发表于微信公众号 和乐数学（宇宙是什么形状？），风云之声获授权转载。

责任编辑：陈昕悦

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