三角形外接圆的半径怎么确定（覆盖三角形的最小圆的半径）

在确定圆的条件这一节中，我们知道三角形只有一个外接圆，而圆有无数个内接三角形。外心是由三角形三边垂直平分线的交点得到的，外心到三角形三个顶点的距离相等。锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部。那么，覆盖三角形的最小圆的半径，是该三角形的外接圆的半径吗？

覆盖直角三角形的最小圆

当三角形为直角三角形时，能够覆盖直角三角形的最小圆的半径是多少呢？

通过作图可以发现，直角△ABC最小覆盖圆的圆心是斜边中点，即直角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，也可以说直角三角形最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆，那么最小圆的半径为斜边的一半。

例题1：我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．已知直角三角形的两直角边分别为5和12，则它的最小覆盖圆的半径的值是多少？

分析：最小覆盖圆就是三角形的外接圆；利用勾股定理可以求得该直角三角形的斜边长为13，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径，那么其外接圆半径长为6.5，所以最小覆盖圆的半径的值为6.5。

当三角形为锐角三角形时，能够覆盖直角三角形的最小圆的半径是多少呢？

通过作图可以发现，锐角三角形的最小覆盖圆是其外接圆，半径即为该三角形外接圆的半径。

例题2：△ABC为锐角三角形，∠A=60°，BC=6，则它的最小覆盖圆的半径的值是多少？

解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC，在直角三角形中，

∵BC=6，∴OB=OC=3，∴⊙O的半径为3；

在锐角三角形中，∵∠A=60°，BC=6，

∴∠BOC=120°，∠OBC=30°，OB=OC=3，

∴OB=3×2根号3=2根号3，

∴⊙O的半径为2根号3.

当三角形为钝角三角形时，能够覆盖直角三角形的最小圆的半径是多少呢？

通过作图可以发现，钝角三角形最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆。

例题3：若在△ABC中，AB=AC，BC=6，∠BAC=120°，则△ABC的最小覆盖圆的半径是多少？

分析：△ABC的最小覆盖圆的半径是BC边的一半，等于3。

结论：若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆。

那么，除了三角形外，能够覆盖四边形的最小圆的半径是多少呢？留给同学们自己考虑下。