几何最值必考模型（几何模型中线定理）

初中几何模型中线定理

中线定理也叫中线长定理，表述三角形三边和中线长度关系。

三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边的平方的一半加上这条中线的平方的2倍

如图△ABC，AE是中线，那么有：

AB² AC²=2AE² BC²/2

或AB² AC²=2AE² 2BE²

利用倍长中线构造平行四边形，还可以推出平行四边形定理

四边边长的平方和等于两条对角线的平方和

下面是中线定理的训练题目

①锐角三角形ABC中，E是BC中点，求证：AB² AC²=2AE² 2BE²

②如图，△ABC，AB=7，BC=6，AC=5，AD是BC边上的中线，则AD的长是( )。

③平行四边形相邻两边分别是5和6，一条对角线的长是8，则另一条对角线的长是( )。

④如图，△ABC，AB=4，AC=2，中线AD=√6，则BC的长是( )。

⑤矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点P是线段AD上的动点，则PB² PC²的最小值是( )。

⑥平面直角坐标系中，点A(1，1)，点B(3，3)，点P是x轴正半轴上一个动点，

那么PA² PB²的最小值是( )。

以下是练习题的答案与解析，解题方法多种多样，仅供大家参考。

①答案：简证如下(初中阶段利用勾股定理证明)

证明：如图作高AD，△ABD、△ADE与△ADC都是直角三角形

AB²=AD² BD²；AE²=AD² DE²；AC²=AD² CD²

且BE=CE

所以AB² AC²

=2AD² BD² CD²

=2(AE²-DE²) (BE-DE)² (DE CE)²

=2AE² 2BE²

②答案：2√7

解析：利用中线定理，AB² AC²=2AD² 2BD²

把数值代入：7² 5²=2AD² 2×3²

解得AD=2√7

③答案：√58

解析：根据平行四边形定理，AC² BD²=2(AB² BC²)

所以BD²=2×(6² 5²)-8²=58，BD=√58

④答案：4

解析：已知两条边和所夹中线可以确定三角形(倍长中线构造平行四边形，根据SSS)

根据中线定理：AB² AC²=2AD² 2BD²

把数值代入得4² 2²=2(√6)² 2BD²

解得BD=2，所以BC=2BD=4

⑤答案：200

解析：取BC的中点E，连接PE，根据中线定理

PB² PC²=2PE² 2BE²

BE是定值6，当PE最小时，即PE=8时，PB² PC²取得最小值。

最小值是2×8² 2×6²=200

⑥答案：12

解析：C是AB中点，根据三角形中线定理则有：PA² PB²=2AC² 2PC²

由于AC=√2是定值，所以只需要PC最小即可

当PC垂直x轴时，PC有最小值2。PA² PB²的最小值是：12

※代数方法供参照。设P(x,0)，则PA² PB²=(x-1)² 1² (x-3)² 3²=2x²-8x 20=2(x-2)² 12

所以当x=2时，有最小值12。

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