对数均值不等式证明9种方法

均值不等式公式是：Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，接下来我们就来聊聊关于对数均值不等式证明9种方法?以下内容大家不妨参考一二希望能帮到您!

对数均值不等式证明9种方法

均值不等式公式是：

Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均数：Qn=√（a1^2+a2^2+...+an^2)/n

均值不等式的使用：

前提条件：正、定、等同时成立。

均值不等式中还有一个需要注意的地方：a，b∈Ra，b∈R。

其次应该掌握的使用技巧：

a+b≥2ab--√a+b≥2ab（要注意理解a、ba、b的内涵）如a、ba、b可以是数字，可以代数式，如单项式、多项式；整式、分式、指数式、对数式、三角式等等。

对数均值不等式的证明是如下：

设f(x)=e^(x-1)–x，f’(x)=e^(x-1)-1；f”(x)=e^(x-1)。

f(1)=0，f’(1)=0，f”(x)>0，所以f(x)在x=1有绝对的最低值。

f(x)=e^(x-1)-x≥f(1)=0。

所以e^(x-1)≥x。

(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a)。

=(x1*x2*x3*…*xn)/a^n≤1。

即(x1*x2*x3*…*xn)≤a^n。

整式不等式：

整式不等式两边都是整式（即未知数不在分母上）。

一元一次不等式：含有一个未知数(即一元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式，如3-x>0。

同理，二元一次不等式：含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。