微积分思想在现实生活中的体现（生活中的微积分思想）

1 牛顿和莱布尼兹两位牛人创建了微积分，它也是进入大学必修的一门数学课。之前高中学习的数学都是静态的，要透彻理解微积分这种动态数学工具，的确够“喝一壶”。如果仅仅停留在应付考试，毕业后，估计连渣渣都剩不下了。有些人可能会问微积分到底有啥用？这篇美文就是要帮他们在这方面开开脑洞。

2 让我们先从生活经验中找找对微积分的感觉。比如你在和对手打乒乓球，你之所以能够准确回球，你所必须具备的经验是“趋势判断”。不可能球到眼前才挥拍。请注意，这里趋势就是微分（或导数）的思想。它联系着前一状态和后一状态的发展趋势。趋势信息不仅包含变化的方向，还包含变化的速率。回忆一下是不是这么回事？

3 普遍用于工业控制的PID调节器就是利用了这个原理。PID的“D”就是微分的首字母，它让反馈调节正比于“变化率”。其实，我们的身体也是这样控制的。不仅仅体现在打乒乓球上，任何时候，你的反馈调节都有“微分机制”的参与。变化率趋势还用在经济形势的判断。GDP就是一个例子。除了“趋势”还有“流量”，“密度”等其它平民词汇联系着微分，后面再说。

4 原来从输油管道到卫星控制，所用PID控制器和我们身体大脑控制有这么近的联系啊，是的，再说说PID的“I”，它就是积分控制。对应回我们前面的打球场景。当你无从获得准确的趋势信息时，还可以从以往的经验统计来判断。比如你对手最爱打的球路。经验统计包含的信息都是某种加总后的均值，对了，这就是积分的思想。依靠经验都有滞后效应，因为获得经验，需要时间。微分控制就比较快。但缺点是容易被“噪声”干扰。太敏感了，听风就是雨。积分控制是保守的（经验主义）。但在噪声环境中不为“噪声”所动。除了经验，还有“存量，总量等生活词汇与积分相关。后面再论。

5 今天先讲到这里，你喜欢吗？如果学会了从局部趋势预判未来，又能从经验知识过滤噪声（伪信息，伪知识），那你的人生就从微积分中获益了。下面讲增量和存量的微积分意义，以及对人生的指导意义。

6 好，今天我们接着讲微积分思想中，存量和增量的意义。踏上人生旅途的毕业生，面对竞争日益激烈的职场，常常非常迷茫。有人工作换了又换，总是踩不到点上。俗话说人生是由能力和机遇组成的。又说，前半生由没有机会的能力组成。后半生由没有能力的机会组成。年轻时，有实力没资历。年长时，有资历没实力。对应到微积分，年轻时，有增量（微分）没存量（积分）。

7 其实，迷茫在于，不知道自己在做的是“矢量微积分”。有增量，未必就能积累存量，不同维度的增量无法简单叠加（矢量和，有些相互抵消了。有些虽有投影贡献，但所得有限。不同维度（行业，领域，专项技能等）受外环境生变量的影响也大不相同。有效积累的第一步是选择适合自己发展的“朝阳维度”，长期坚持。坚持有效积分不是目的，能捕捉到机会窗口才能成功。捕捉就需要微分（趋势判断）能力。另一个要注意的是频繁自检，是否自己的投入获得了“有效增量”。零增量的努力（也包括学习）比比皆是。认知先微分，实践才能获得更好的积分效果。

8 有效增量最好在同一维度，或相关性比较高的维度取得。在竞争中，取得前5%很不容易。但如果你在两个相关领域各取得前20%，那你就在夸域竞争中获得了前4%的地位。因为跨域竞争是两个数的积。那有效存量是什么样呢？看看图中的“咬尾蛇”，如果你添加增量到存量中，这个存量能帮助你在下一阶段更高效地获得更多增量，那存量就是有效的。比如你的新业务受益没有之前存量的贡献，保持平平，你就需要想想了。人类技术几步就因存量而加快。貌似指数效应。下节回到微积分的基础（概念或定义），再挖掘一下，看看为何它对科技进步如此重要。

9 让我们先从卡瓦列利原理说起，也就是：“界面总相等的两个立体的体积也相等。”直观上，积分是对某种具有一定（比如分段连续）连续性的可加量进行求和。积分号下的被积函数看看做某种“分析量”（某种密度函数）。而"d"后的积分域变量是某种有“广延”的几何量。所以，积分可以在希尔伯特空间写成内积的统一形式。好处是，对任何封闭空间，都有：

10 这个式子叫广义斯多克斯公式。它概括了微积分基本定理、高斯定理、斯多克斯定理、以及在流形微积分中的更多意义。通俗地说，就是把对区域求积的问题转化为边界上的某种求积。在现代数学中意义深刻。而我们要借鉴的思想是，当你不清楚某个事物内部情况时，可以从它的全体边界上的表现来求得等效作用。今天开私家车的，多半不懂发动机原理。道理差不多。另一个启示，是“封闭”具有特殊的拓扑本质。形成封闭就具有某种“完备性”。比如26个字母，通过组合，对英语就具有完备性辑，任何单词都能用他们表达。如此形成的基本元素，越少效率越高。为何活字印刷对西方影响那么大，中国的活字印刷早了几百年，但因为作为基本元素的汉子太多。得到普及需要克服的困难就太多了。

扯远了，积分思想告诉我们，不仅从总体考虑的视角十分重要，还特别指名，从完整（封闭）边际来考虑总体问题，与非完整边际有本质不同。可以完成“降维”。聪明人总是能化繁为简，而小聪明则常常折在边际的遗漏。