用圆规画一个正五边形（几何原本是如何只用尺规作正五边形）

今天我向大家介绍一下《几何原本》比较特别的二倍角定理以及如何只用尺规作正五边形。

二倍角定理是《几何原本》第4卷“与圆有关的直线图形的作法”中的第10个命题，在二倍角定量后面的4个命题都是有关正五边形的命题证明，都需要用到二倍角定理。

下面是二倍角定量的证明过程:

命题10:作一个等腰三角形，使它的每个底角是顶角的二倍。

证明:

1、任取一条线段AB，在AB上取一点C，使以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积。（第2卷 命题11）具体详见我的文章《《几何原本》-几何代数的基本原理（2）-命题1~命题14》。

2、以A为圆心、AB为半径作圆BDE。

3、作圆BDE的拟合线BD，使BD=AC。（第4卷 命题1）

4、连接AD和DC，作三角形ACD的外接圆ACD。（第4卷 命题5）

5、因为以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积，AC=BD，所以以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以BD为边的正方形面积，于是BD与圆ACD相切。（第3卷 命题37）

6、因为BD与圆相切，DC是过切点D的圆的拟合线，所以角BDC等于相对弓形上的角DAC。（第3卷 命题32）

7、因为角BDC=角DAC，两边同时加上角CDA，所以角BDA=角CDA 角DAC。

8、又因为外角BCD=角CDA 角DAC（第1卷 命题32），所以角BDA=角BCD。

9、又因为AB=AD，所以角BDA=角CBD。（第1卷 命题5）

10、所以角BCD=角CBD，于是DB=DC。（第1卷 命题6）

11、又因为BD=CA，所以DC=CA，所以角CDA=角CAD（第1卷 命题5）

12、所以角CDA与角CAD的和是角DAC的二倍，又角BCD=角CDA 角CAD，于是角BCD是角DAC的二倍。

13、又因为角BCD=角BDA=角DBA，所以角BDA和角DBA都是角DAB的二倍。

14、所以等腰三角形ABD的底边BD上的每个角都是顶角的二倍。

证明完毕。

以下是作图过程：

步骤1：任取一条线段AB，延长BA至a。

步骤2：以A为圆心，AB为半径作圆与Ba相交于b，此时bA=AB。

步骤3：去除多余的辅助线，此时bA=AB。

步骤4：以b为圆心，bB为半径作圆；以B为圆心，Bb为半径作圆。两圆相交于c、d，连接cd与bB相交于A点。

步骤5：去除多余的辅助线。

步骤6：以A为圆心，AB为半径作圆，交Ad于e。分别以e、B为圆心，eA、BA为半径作圆，两圆交于f，连接ef、fB。

步骤7：去除多余的辅助线，此时AefB是正方形。

步骤8：以A为圆心，Ae为半径作圆；以e为圆心，eA为半径作圆，连接两圆交点所形成的直线与Ae相交于g点。

步骤9：去除多余的辅助线，此时AefB是正方形，g是Ae中点。

步骤10：延长eA至h，以g为圆心，gB为半径作圆，圆与eh相交于i。

步骤11：去除多余辅助线。

步骤12：以A为圆心，Ai为半径作圆，圆与AB相交于C。

步骤13：以A为圆心，AB为半径作圆；以B为圆心，AC长度为半径作圆，两圆相交于D。

步骤14：连接AD、CD、BD。

步骤15：去除多余辅助线，此时在三角形ABD中，角ABD=角ADB=2角A。此时我们已经完成了作图任务。

步骤16：以D为圆心，DA为半径作圆，两圆相交于j、k，连接jk。

步骤17：以A半径，AC为圆心作圆；以C为圆心，CA为半径作圆，两圆相交于im。连接im，im与jk相交于n。

步骤18：去除多余辅助线。

步骤19：以n为圆心，nC为半径作圆ACD。

步骤20：去除多余的辅助线，，此时在三角形ABD中，角ABD=角ADB=2角A，BD与圆ACD相切于D点。

命题11:作给定圆的内接五边形，该五边形等边且等角。

已知ABCDE是给定圆。

目标:作圆ABCDE的内接等边且等角的五边形。

证明:

1、作一个等腰三角形FGH，使角G和角H都是角F的二倍。（第4卷 命题10）

2、在圆ABCDE内作内接三角形ACD，使它与三角形FGH等角，即角CAD=角F，角ACD=角G，角ADC=角H。（第4卷 命题2）

3、所以角ACD和角ADC都是角CAD的二倍。

4、作角ACD和角ADC的角平分线，分别为CE和DB。（第1卷 命题9）

5、连接AB、BC、DE和EA。

6、因为角ACD和角ADC都是角CAD的二倍，且直线CE和DB平分两角，所以角CAD=角ACE=角ECD=角CDB=角BDA。

7、又因为相等的角所对的弧也相等（第3卷 命题26），所以五条弦AB、BC、CD、DE和EA彼此相等。（第3卷 命题29）

8、因此五边形ABCDE是等边的。

9、因为弧AB=弧DE，两边同时加上弧BCD，所以整个弧ABCD=整个弧EDCB，又因为角AED是弧ABCD所对的角，角BAE是弧EDCB所对的角，所以角AED=角BAE。（第3卷 命题27）

10、同理，可证角AED=角BAE=角ABC=角BCD=角CDE。

11、所以五边形ABCDE是等边且等角的。

证明完毕。

以下是作图过程：

步骤1：作任意一条直线，与已知圆相交于a、b。

步骤2：以a为圆心，ab为半径作圆，以b为圆心，ba为半径作圆。

步骤3：连接两圆的两个交点，延长并与已知圆相交于c、C，此时cC是已知圆的直径。

步骤4：去除多余的辅助线，此时cC是已知圆的直径。

步骤5：以C为圆心作任意圆，该圆与cC所在直线相交于e、f。

步骤6：以e为圆心，ef为半径作圆，以f为圆心，fe为半径作圆。连接两圆交点与已知圆相切于C点。

步骤7：去除多余辅助线，延长已知圆切线两边至h、i。

步骤8：获取命题10中的图形，去除多余的辅助线，将三角形ABD重命名为FHG，于是角H=角G=2角F。

步骤9：以C为圆心，以给定三角形FGH的边FG（或FH）长度为半径作圆（浅蓝色）与hi右侧交于j点。

步骤10：以j为圆心，以给定三角形FGH的边HG长度为半径作圆（深蓝色）与浅蓝色圆上部相交于k点。

步骤11：连接Ck与已知圆相交于D点，连接kj。此时三角形Ckj全等于三角形FHG，于是角kCj=角F。

步骤12：去除多余辅助线，此时角DCi=角F。

步骤13：以C为圆心，以给定三角形FGH的边HG长度为半径作圆（浅蓝色）与hi左侧交于l点。

步骤14：以l为圆心，以给定三角形FGH的边FG长度为半径作圆（深蓝色）。

步骤15：以C为圆心，以给定三角形FGH的边FH长度为半径作圆（粉红色）与深蓝色圆上部相交于m点。

步骤16：连接Cm、lm。此时三角形mCi全等于三角形FHG，于是角mCl=角H。

步骤17：去除多余辅助线，角mCh=角H。

步骤18：延长Cm与已知圆相交于A，此时角D=角ACh=角H，角A=角DCi=角F，角ACD=角G。于是角D=角ACD=2角A。

步骤19：以C为圆心作任意圆与CA、CD相交于n、o两点。

步骤20：以n为圆心，nC为半径作圆；以o为圆心，oC为半径作圆。连接两圆交点，交点连线经过C点且平分角ACD。

步骤21：延长两圆交点连线与已知圆相交于点E，去除多余辅助线，CE平分角ACD。

步骤22：以D为圆心作任意圆与DA、CD相交于p、q两点。

步骤23：以p为圆心，pq为半径作圆；以q为圆心，qp为半径作圆。连接两圆交点，交点连线经过D点且平分角ADC。

步骤24：延长两圆交点连线与已知圆相交于点B，去除多余辅助线，DB平分角ADC。

步骤25：连接AB、BC、AE、ED，此时ABCDE是圆的内接正五边形。

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