圆和三角形结合的几何难题（圆与三角形结合的几何题）

这是在百度上看到的几何题。一个四分之一圆，里面有个直角三角形，求圆的半径。圆的半径知道了，打问号的线段也就知道了。

为了便于解题，先标上字母。连接AC、BD。由勾股定理知BD=25。显然ABCD四点共圆，所以∠ACB=∠ADB，设∠ACB=∠ADB=α，cosα=7/25。又AC=BC=半径r，对△ABC用余弦定理得：

24²=2r²-2r²×7/25，r=20。CD=15。

也可以用正弦定理做。

rsinα=24sin(90°-α/2)

=24cos(α/2)=24√((cosα 1)/2)，即

24r/25=24√((7/25 1)/2)=24×4/5，

r=20。

几何题

现在思考怎样用几何方法解题。其实余弦定理已经指明了方向。作AE⊥BC，则

AB²=AE² BE²

=r²sin²α (r-rcosα)²

=r²sin²α r² r²cos²α-2r²cosα

=2r²-2r²×7/25=24²，r=20。

这也是余弦定理的一种证明方法。

或者利用两个三角形相似证明：

设CE=x，∵△ABD∽△EAC，

∴x/r=7/25，x=7r/25。

又对△ABE用勾股定理有：

24²=r²-x² (r-x)²=2r²-2rx=2r²(1-7/25)，

解得r=20。

从证明定理入手学习数学才是正本清源的方法，建议大家把所有学过的的数学定理都证明一遍，深入理解数学定理的内容，做到熟练掌握并且能够灵活运用。有的学生基本概念还不太清楚就去走捷径，这是舍本求末的做法。

现在来看老师的解答。

老师用的是托勒密定理找出x与r的关系。托勒密定理的内容是：如果四点共圆，则这四点所构成的四边形对角线的乘积等于两组对边乘积之和。再用勾股定理列方程解出。

大家可以自己去研究一下托勒密定理的证明过程，然后记住托勒密定理的内容，以便随时可以用上。

老师的解答

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