至今还没公布的数学猜想（四个令人着迷的）

有些数学猜想看起来非常简单，但至今仍悬而未决。与同样很“简单”的哥德巴赫猜想相比，接下来要介绍的四个猜想更具有趣味性，却几乎没什么“数学性”。

冰雹猜想

又叫角谷猜想，乌拉姆（Ulam)问题，卡兰兹(CoIlatz)猜想。这个猜想很简单：

对任意正整数N，按照以下的规律进行变换： 如果是个奇数，则下一步变成3N 1； 如果是个偶数，则下一步变成N/2。 那么无论N是怎样一个数字，最终都会得到1并陷入“1-4-2-1”循环。

本人比较喜欢“冰雹猜想”这个名字，因为“冰雹”非常形象地表现了这一过程：冰晶在云层中上上下下，起起伏伏，但最后总是会变成冰雹落回大地。

冰雹的形成过程

这个猜想看起来非常简单，到现在却始终无法证明。主要在于其不可预知性。

有人说，这还不简单，只要是偶数，一直除以2，不断缩小，最后总会变成1的呀？问题是偶数除以2还可能是奇数，比如10/2=5，5是奇数，这时候就要乘以3再加1，变成16，相比于10而言是放大了。没有办法预知，一个偶数除以2之后得到的是偶数还是奇数。

举个极端一些的例子：27

对数字27，总共需要进行112步上面的运算，才会变成数字1，随后陷入“1-4-2-1”循环。这个过程如下:

进行到第76步的时候变成“9232”这么大的一个数字，然后又迅速减小，再经过几次起伏之后，才终于变成1。

根本没办法预测这样的上下起伏，冰雹猜想也就一直悬而未决。

小编个人有一个想法：是不是可以反过来，如果能够证明由“1”，“2”，”4“这四个数，通过逆向运算得到任意正整数，那么冰雹猜想不就成立了吗？不过一番尝试以后也是无奈放弃。

著名天才数学家、菲尔兹奖的获得者陶哲轩也研究过冰雹猜想，相关文章发表在他的个人博客上。感兴趣的朋友可以打开下面的链接，看一看他的研究工作：

https://terrytao.wordpress.com/2011/08/25/the-collatz-conjecture-littlewood-offord-theory-and-powers-of-2-and-3/

回文数猜想

首先介绍一下，所谓回文数就是指这样一类正整数，数字正过来和反过来一样，比如919，12321,478874。

接下来我们做这样一个游戏：

任取一个正整数（注意，是任意正整数），然后把它和它的倒序数相加，得到新的数，再不断进行这个过程，直到得出一个回文数为止。

举例：123

123 321=444（回文数）

一步到位。

再比如：57

57 75=132 132 123=363（回文数）

两步到位。

再比如：69

69 96=165 165 561=726 726 627=1353 1353 3531=4884（回文数）

四步到位。

回文数猜想说的就是：

对任意一个正整数，是不是总能通过上面的过程得到一个回文数呢？不限次数。

直觉来看，这个猜想似乎是对的，但皂滑弄人，偏偏有两个数，人们通过超级计算机已经运算了上万步，计算到数亿位，仍然得不到一个回文数，这就是196和277386。

人们既不能肯定运算下去永远得不到回文数，也不知道需要再运算多少步才能最终得到回文数。

小编个人也有一个想法：回文数猜想有可能是错的。有人可能会想，自然数无穷无尽，人们也就才只找到两个可能是”反例“的数字，怎么看都觉得这个猜想是对的呀？其实不少人都忽略了一个事实：如果196不能生成回文数，那么196 691=887自然也生成不了回文数。同理887 788=1675,1675 5761=7436，...他们都不能生成回文数！每次倒序相加得到的数都比前面一个数大，这个计算可以一直进行下去，换言之，只要存在一个这样的反例，那么就存在无穷多个反例！

吉尔布雷思（Gilbreath)猜想

从小到大依次列出所有的质数：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

求出相邻两项之差的绝对值：

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …

再次求出相邻两项之差的绝对值：

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …

重复以上过程，可依次得到

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 2, …

有一个很简单的规律：

每行序列的第一个数都是 1。

某日，数学家 Norman L. Gilbreath 闲得无聊，在餐巾上不断对质数序列求差，于是发现了上面这个规律。Gilbreath 的两个学生对前 64 419 行序列进行了检验，发现这个规律始终成立。1958 年，Gilbreath 在一个数学交流会上提出了他的发现，Gilbreath 猜想由此诞生。

这个规律如此之强，很少有人认为猜想不成立。1993 年，Andrew Odlyzko对 10 000 000 000 000 以内的质数（也就是 346 065 536 839 行）进行了检验，也没有发现反例。

这一看似简单的问题，几十年来也是没人解决。

辛马斯特（Singmaster）猜想

下面是一个杨辉三角

显然，数字 1 出现了无穷多次。

现在问一个简单的问题：

除了数字 1 以外，哪个数字出现的次数最多？最多出现多少次？

上图中， 6 出现了 3 次。 此外，10 出现了 4 次， 120 出现了 6 次，这还不算多。

目前已知的出现次数最多的数是 3003 ，它同时等于 C(3003, 1) 、 C(78, 2) 、 C(15, 5) 、 C(14, 6) ，根据对称性可知，3003在杨辉三角中一共出现了 8 次。

杨辉三角包含无限多的数，有没有出现次数更多的数，目前仍然是一个未解之谜。

当然，Singmaster猜想要比上面的这个问题更深刻一些，但上面的问题作为其中的一部分，也具有不错的思考价值。

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参考资料：

1.Matrix67 千万别学数学：最折磨人的数学未解之谜

2.《世界自然与科学未解之谜》

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