除法有分配律吗为什么(除法有没有分配律)

下面是某区2020-2021学年第一学期四年级数学试卷的最后一题。

除法有分配律吗为什么(除法有没有分配律)(1)

出题者的答案是“除法没有分配率”,像上面这位同学的回答就是错的,果真如此吗?现讨论如下:

首先,对这道题不能陷入对定义的争论,定义都是人为规定的,可以将 (a b)÷c=a÷c b÷c定义为“除法分配率”,也可以规定它不能这么命名。小学课本上也没有关于“除法分配率”的阐述,这是个开放性问题,言而有理则对。作为压轴大题,需要从①②步骤详细推导出的结论,也体现了出题者的用意,考的是推理,不是人为规定。

抛开了定义问题,(a b)÷c=a÷c b÷c显然是一个与除法相关、也与分配率相关的正确的式子,怎么就不能说除法有分配率呢?出题者的理想答案无非就是要在步骤①“我猜想”中不但写出(a b)÷c=a÷c b÷c,还要写出不正确的c ÷(a b) =c÷a c÷b,并在步骤②中发现c ÷(a b) =c÷a c÷b的不正确,得到“除法没有分配率”这个结论。不写出c ÷(a b) =c÷a c÷b就叫考虑不全面,其实这完全是个逻辑错误。要证明存在,只需举一例即可,要证明不存在,才需穷举。譬如要证明新冠病毒存在,只需证明有一人有病毒即可,无需再列举其他人有没有病毒,只当要证明新冠病毒不存在时,才需要证明所有人都没有病毒。同理,当学生能证明(a b)÷c=a÷c b÷c正确,得出自己的结论时,也就没必要考虑c ÷(a b) =c÷a c÷b正确与否,这并非考虑不周,而是不必,因为即使考虑到c ÷(a b) =c÷a c÷b的不正确,也对结论没任何影响。从逻辑上来说,在已论证(a b)÷c=a÷c b÷c正确的前提下,不考虑c ÷(a b) =c÷a c÷b才是正确的逻辑,考虑它反而是多余。学生未必会讲出这些道理,但人都会不自觉的按逻辑行事,出题者怎么知道学生不写出c ÷(a b) =c÷a c÷b的不正确,是出于不知还是不必呢?为什么要小瞧四年级学生的逻辑能力呢?他们不配拥有更深的思维能力吗?

进一步讲,有的学生完全有能力预判c ÷(a b) =c÷a c÷b的不正确,自然就不会将它列入步骤①“我猜想”中,“我猜想”的自然是我认为正确的。出题者似乎认为小学生从模仿乘法c ×(a b) =c×a c×b出发,一定会写出上面那个除法不正确的式子,先掉进这个坑,再爬出来,那有的学生一开始就不掉进这个坑不行吗?像上述那位同学的解答,至始没有涉及c ÷(a b) =c÷a c÷b的问题,不可以吗?从乘法出发犯c ÷(a b) =c÷a c÷b这个错误确实有可能,但也不是必然,从数学原理上说,除法中的被除数相当于分子,与乘法中的因子一样,具有刻画数量大小的属性,而除数相当于分母,属性为参照量,参照量越大,处于分子的数量显得更小。只有具备数量大小属性的乘法中的因子、除法中的被除数是可以被分配的,而参照量属性的除数无法被分配。说理论很复杂,但也可以简单说,符合逻辑的式子总有现实意义,比如正确式子(a b)÷c=a÷c b÷c,可以说a个红苹果,b个青苹果给c个人吃,问每个人吃了几个苹果,那先算总共几个苹果再算每人吃多少,或是先分别算每人吃了几个红苹果、几个青苹果,再将红苹果青苹果合起来,结果一样,这是正确式子对应的现实意义。反之,错误式子c ÷(a b) =c÷a c÷b,无论如何找不出对应的现实意义。所以说,c ÷(a b) =c÷a c÷b的错误并不是像出题者给小学生设计好的步骤②那样,要靠代入几个具体数验证它错误才行,而是从根本上就不对。对于小学生,也许他不会想到c ÷(a b) =c÷a c÷b从逻辑上完全行不通,但他完全有可能因找不到c ÷(a b) =c÷a c÷b对应的现实意义,而从一开始就认为这是个错式子,没必要在步骤①中写出。正确的路只有一条,错误的路千万条,为什么一定要把这条错误的路挑出来再证明它的错误呢?它在千万个错式子中有何特别吗?出题者认为小学生一定要先按容易错的思路把这错式子列出来验证,而不允许更高级的思路预先就把错误筛除吗?

这道题的本意是让学生不要从乘法分配律类比出c ÷(a b) =c÷a c÷b这个错误,但题目又没直接给出这个错误式子,而是让学生“我猜测”,按通常的逻辑,学生自然去猜测认为对的式子,就有可能没按出题者预想在步骤①中“猜测”出这个错式子,没有“猜测”出一个错误的式子有何不对吗?这并非考虑不全面或猜测水平低,而或许是更高级思维的体现。所以该题出的具有争议,给学生不合理的预设解答路线将破坏学生独立的、逻辑的思维能力。

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