九章算术著名数学题（古人数学智慧九章算术）

前面我们看过了《九章算术》勾股章的第一至十二个问题，现在我们来看看第十三至十六个问题。

前十二个问题链接如下：

1、古人数学智慧——《九章算术》（勾股定理）

2、古人数学智慧——《九章算术》（第九章勾股章（七-十二））

原文：

（一三）今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何?

答曰:四尺、二十分尺之十一。

术曰:以去本自乘，令如高而一，所得，以减竹高而半其余，即折者之高也。

（折竹抵地）（2019吉林）（2020江苏）（2021湖南）

译文：有一根与地面垂直且高一丈的竹子 (1丈＝10尺)，现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为多少尺？

列方程求解。

解：设折断处离地面的距离是x尺，则斜边AB长10-x尺。

根据勾股定理列方程为

(10-x)^2-x^2=3^2

X=91/20

答：折断处离地面的距离是91/20尺。

原文：

（一四）今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪东北与乙会。问甲乙行各几何?

答曰:乙东行一十步半;甲邪行一十四步半及之。

术曰:令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率。邪行率减于七自乘，余为南行率。以三乘七为乙东行率。置南行十步，以甲邪行率乘之，副置十步，以乙东行率乘之，各自为实。实如南行率而一，各得行数。（2018江西）

译文：已知甲、乙二人从同一地点出发，甲的速度与乙的速度之比为7：3，乙一直向东走，甲先向南走十步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇。这时甲、乙各走了多远？

解：设乙走了3x步，由于甲乙速度比7:3，则甲走了7x步。

根据勾股定理列方程为

(7x-10)^2-(3x)^2=10^2

x1=0（舍去），x2=3.5

∴3x=10.5,7x=24.5

答：乙走了10.5步，甲走了24.5步。

原文：

（一五）今有句五步，股十二步。问句中容方几何?

答曰:方三步、十七分步之九。

术曰:并句、股为法，句股相乘为实，实如法而一，得方一步。（勾股容方）（2019山东）

译文：已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内接正方形边长为多少步？

魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图，底和高分别为a和b的两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形和两个小直角三角形，将三种颜色的图形进行重组，得到如图所示的矩形，该矩形长为a b，宽为内接正方形的边d。可求得d。

我们常规方法用相似三角形等比进行计算。

解：设正方形边长为d步。

易知△CDF∽△BEF

∴CD:DF=EF:BE

(5-d):d=d:(12-d)

d=60/17

答：其内接正方形边长为60/17步

原文：

（一六）今有句八步，股十五步。问句中容圆，径几何?

答曰:六步。

术曰:八步为句，十五步为股，为之求弦。三位并之为法，以句乘股，倍之为实。实如法得径一步。（2020成都）

译文：已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步?

图标注错了，AB长应为15步

解：有勾股定理得BC=17

由于三角形的面积等于三个小三角形面积之和

15×8=8r 15r 17r

r=3

d=2r=6

答：其内切圆的直径为6步。

今天我们的学习就到这里，关注@好玩数学课堂，一起交流学习！

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