最高阶非零子式的阶数怎么判断（01的不可证明性表明形式主义的局限性）

1921年，《数学杂志》发表了著名数学家外尔的一篇文章，公开地赞成直觉主义，认为数学遇到了"基础的危机"。危机是由于布劳威尔的"革命”而来的。同年，希尔伯特攻击布劳威尔和外尔，企图建立"克罗内克式的数学"。关于数学基础的辩论变成了希尔伯特想要为"经典的"数学作论证和布劳威尔正在发展的重建一种经过了重大改革的直觉主义数学之战。

直到1920年，关键的基础问题一直是实数可否接受的问题，以及更为基本的非直谓性以及集合论中的强存在假设可否接受的问题，正是非直谓性和这些假设，支持了高阶的无穷大以及无限制地使用存在证明。 集合理论以及由此而蕴含着古典分析，一直由于依赖于非直谓定义和强存在假设而遭到批评（特别是选择公理）。这样，在20世纪的头20年，辩论集中在这样一个问题上：在涉及定义集合和它们的子集合并确定它们的存在时，接受和允许使用哪些原理？一个关键问题是，怎样把“任意子集合”这种说法的模糊的含义弄严格？对于这个问题，最为前后一贯的反应是策墨罗的把集合论公理化，以及外尔在《连续统》一书中的直谓系统。

然而，布劳威尔把新的甚至更基本的问题带到了前台。以往，没有人曾经对关于自然数的传统推理方式起过疑问；对于古典逻辑的使用，特别是量词和排中律在这个背景下的使用，谁也没有犹豫过。但是，布劳威尔对于这些假设提出了原则性的批评、并且开始发展一种比外尔还激进得多的另一种分析理论。在这样做的时候，他突然生成了一种新的连续统理论，正是这个理论，促使他宣布新时代的来临。

直觉主义

关于“直觉主义集合论”，布劳威尔写了两篇文章来系统地发展他的观点。克莱因和庞加莱就一直坚持直觉在数学知识中有着不可逃避的作用，尽管逻辑在数学证明和发展数学理论上很重要，数学却不能归结为纯粹的逻辑：理论和证明当然要按逻辑组织起来，但是它们的基本原理（即公理）是建立在直觉的基础上的。但是布劳威尔走得比他们更远，他坚持数学对于语言和逻辑是绝对独立的。

从1907年起，布劳威尔就反对排中律，认为它等价于希尔伯特的每一个数学问题都可解这一信念。排中律是这样一个逻辑原理：不论p表示什么命题，

例如，由排中律，π的十进展开式中有无穷多个7，或者只有有限多个7，虽然我们不知道证明哪一个。布劳威尔认为、我们所习惯的逻辑原理都是从我们处理有限集合的子集合的方法中抽象出来的，所以把它们也用于无穷集合的情况是不对的。于是，他开始来系统地重建数学。

直觉主义者的立场是，只有当我们或者能够给出p的一个构造性的证明，或者能够给出q的一个构造性的证明，这时才能说"p 或者 q"。这个观点有一个推论，即归谬法是无效的。考虑希尔伯特的基底定理的第一个证明，它就是由归谬法 给出的。他证明了假设基底为无限会导致矛盾，由此他就得到基底为有限的。但是，直觉主义者要求对于每一个假设为存在的对象，都要给出显式的构造程序，要给出每一个数学命题后面的显式的程序。类似于此，柯西关于代数的基本定理的证明，还有实分析中许多用到上确界的证明，所有这些证明对于直觉主义者都是无效的。

很容易给出直觉主义者不会接受的应用排中律的例子，只需要把排中律用于任意未解决的数学问题就行了。例如，所谓卡塔兰常数就是

不知道K是否超越数，所以，如果p表示以下命题："卡塔兰常数是超越数"，则直觉主义者不会接受p或真或不真这一点。

这可能有点怪，甚至显然是错的，除非我们认识到，直觉主义者对于什么是真也有不同的观点。对于一个直觉主义者，说一个命题为真，就意味着我们可以用正在讨论的这种约束很紧的方法来证明它；说它不真，就意味着能够实实在在地找出它的反例。因为没有理由假设或者有一个构造性的证明，或者有显式的反例，所以我们没有理由相信排中律。这样，为了确定具有某个性质的自然数存在，用归谬法去证明是不够的。如果想说服一位直觉主义者，就得要用显式的确定方法来证明它。

请注意这个观点是怎样蕴含着数学并非与时间无关。到了1882 年，林德曼才证明了π是一个超越数。按照直觉主义者的说法，直到那时对于这个命题才可以赋以一个真值，而在1882年以前，按照直觉主义者的看法，这个命题却是一个既不为真又不为不真的命题。这听起来像是怪论，但是对于布劳威尔，这可是正确的，因为在他看来，数学对象是心智的创造，而他认为说数学对象有独立的存在性只不过是"形而上学"罢了。

1918年，布劳威尔把康托和策墨罗的集合代之以构造主义的对应物。后来，布劳威尔把这种对应物称为"spread"和"species"。一个"species"基本上就是一个由特征的性质定义的集合，但有一个前提，即其每一个元素以前都已经用显式的构造方法独立地定义了。特别是，每一个给定的"species"的定义都是严格直谓的。

"spread"的概念特别具有直觉主义的特性，它是布劳威尔的连续统定义的基础。它的企图是避免理想化，并且公正对待和充分利用数学构造依赖于时间的本性。 例如，假设我们想要定义一个有理数序列来越来越好地逼近2的平方根。在古典分析中，我们把这个序列构思为整体存在的，但是布劳威尔定义了一个他称为选择序列的概念，更多地关注于这个序列可能是怎样形成的。生成这种序列的方法之一是给出一个公式。 但是另一个方法是作一个服从于某些限制，但不那么刚性决定的选择，例如可以坚持

这并不能唯一地决定x_n，但是确能保证这个序列会产出对于根号2的越来越好的逼近。

所以，并不要求一个选择序列在一开始就已经完全确定了，而可以包括数学家在不同的时刻再做选择的自由。这两个特点使选择序列和经典分析里的序列大不相同。有人说过，直觉主义者的数学是"创造中的数学"。与此对照，经典数学是以一种与时间无关的客体性为标志的，因为它的对象自身是完全确定而与数学家的思维过程无关的。

一个"spread"以选择序列为其元素——它有点像一个规范序列如何生成的规则。例如可以取一个由所有选择序列生成的"spread"，但这些序列要以特殊的方式开始，这样一个"spread"代表一个线段———一般说来"spread"不表示孤立的元素。布劳威尔利用元素是满足柯西条件的选择序列这样的"spread"来作连续统的新数学概念，连续统不再是由具有先前决定的具有柏拉图式的存在性的点（或实数）构成的。它更加是真正"连续"的。有趣的是这个观点使人想起了亚里士多德，他在2300年前就已经强调连续统的优先性。

布劳威尔对分析的重新发展的下一个阶段是对函数概念的分析。布劳威尔定义一个函数就是对一个"spread"的各个元素都指定一个值。然而，由于"spread"的本性，这种指定的方法必须完全依赖于选择序列开始的一段，这样才能是构造上可允许的。这给出了一个很大的惊异：所有处处定义的函数都是连续的（甚至是一致连续的）。你可以怀疑，对于下面的函数怎么办呢？这个函数f就是当x<0时f（x）=0，而x≥0时f（x）=1的函数。对于布劳威尔，这个函数不是一个适当定义的函数，其深藏的理由在于我们可以定义"spreads"而不知道它们是正，是负或者是零（可能永远也不会知道）。

拒绝排中律有一个后果，就是直觉主义的否定与经典的否定是不同的。这样。 直觉主义的算术也和经典的算术不同。然而，哥德尔和根岑在1933年证明了算术的戴德金-佩亚诺公理系统相对于形式化的直觉主义算术是相容的（就是说，他们能确定在两个形式系统的语句之间有一个对应关系，使得经典算术中的矛盾必然对应于其直觉主义对应物的一个矛盾。因此，若后者是相容的则前者也是）。这是希尔伯特派的一个小胜利，虽然对于分析的系统和集合理论，相应的证明一直没有得到。

在一开始，人们寄希望于直觉主义最终会给纯粹数学一个简单而又优雅的表示。然而从布劳威尔的重建在1920年代的发展越来越清楚，直觉主义的分析将是极端复杂而又陌生的。布劳威尔并不烦恼，他在1933年说"真理的球不会如幻想的球那样透明"。但是，外尔虽然相信布劳威尔已经把数学直觉的领域整理得完全令人满意了，却在1925年说："数学家们痛苦地看到，他们高耸入云的理论的最大部分在自己眼前化为烟云。”外尔似乎不久以后就放弃了直觉主义。幸运的是还有另外一种途径，建议了另外一种恢复经典数学的健康的方法。

希尔伯特的纲领

这里说的另外一种方法当然就是希尔伯特纲领。就数学的经典理论而言，这个纲领许诺的就是，用他自己在1928年说过的值得纪念的一句话来说，"让一切疑虑一劳永逸地从世界上消除"。他从1904年起就开始发展的这个新的前景，严重地依赖于形式逻辑和对可以从已给的公式（即公理）证明的公式作组合学的研究。用现代逻辑学的方法，证明变成了一种形式计算，而可以机械地检验，所以这个过程完全是构造性的。

有趣的是，这个新的计划是用克罗内克式的手段来论证现代的反克罗内克式的方法论。希尔伯特的目的是证明从公理开始不会证明出矛盾的公式。一旦能够组合地或者说构造地证明了这件事，这里的论证就可以看成是对这个公理系统的论证。

然而、希尔伯特的思想在当时还蒙上了一层阴影、那就是对于逻辑理论的不够了解。一直到1917年至1918年，希尔伯特才又回到建立这个纲领的主题上来。这时他对逻辑学的了解已经有了改进，也更加自觉地看到他的计划所包含的可观的技术困难。其他数学家在促进这种进一步的了解上也起了显著的作用．到1921年左右，希尔伯特在自己的助手伯奈斯的帮助下，对于数学的形式化已经有了很精细的概念，也认识到有必要更深刻更仔细地探索数学证明和数学理论的逻辑结构。1922 年晚些时候，他第一次在莱比锡的一次讲演里清楚地陈述了自己的纲领。

在这里将要描述希尔伯特纲领的成熟形式，如他在1925年的论文《论无穷》中所陈述的那样。这个纲领的主要目的是利用句法的相容性证明来建立现代数学的原理和推断方式的逻辑可接受性。公理化、逻辑和形式化使得有可能从纯粹数学的观点来研究数学理论（所以就叫做元数学），而希尔伯特希望能用非常弱的工具来确立这个理论的相容性。特别是他希望能回答布劳威尔和外尔的所有的批评，这样来论证集合理论、经典的实数理论、古典分析。

希尔伯特的途径的整个要点在于使数学充分精确，所以可以得到关于其性质的精确的结果。为了完成这个纲领，以下的步骤是不可少的：

1. 找到一个数学理论 T，例如实数理论的适当的公理和原始概念。
2. 找到古典逻辑的公理和推断规则，使得从已知命题到新命题的过渡是一个纯粹的句法的形式的程序。
3. 用形式逻辑演算把T形式化，使得T中的命题只不过是一串符号，而证明则是服从推断的形式规则的符号串序列。
4. 在T中作一个形式证明，来表明不可能得出一个表示矛盾的符号串作为一个证明的最后一行，对这个证明作有穷的研究。

事实上，步骤（2）和（3）对于某些理论，已经用相当简单的一阶逻辑中形式化的系统解决了，在任意的数理逻辑的引论中，例如对戴德金一佩亚诺算术或者策墨罗--弗朗克尔集合论都已经研究过。结果是一阶逻辑就已经足够把数学证明编为法典，有趣的是这个认识来得很晚，是在哥德尔定理得到证明以后。

希尔伯特的主要洞察在于当理论已经形式化以后，任意的证明都变成了有限的组合学的对象，不过是符合这个系统的形式规则的符号串的阵列。正如伯奈斯说过的那样，这只是把理论T的演绎结构"投影"到数论领域罢了，而在这个领域中有可能表示出 T 的相容性。这些认识提高了一种期望，就是只需对形式化的证明作有穷的研究，就足以确立理论的相容性，也就是可能证明那个表示T的相容性的那个语句。但是这种期望并没有得到以前的洞察的保证，而且证明是错的。

另外，这个纲领有一个关键性的前提，就是不仅是逻辑演算，还有每一个公理系统都需要是完全的．粗略地说，所谓完全就是它们要足够强大，允许导出所有有关的结果。哥德尔指出，这个假设对于包括（原始递归算术）的系统是错误的。

还需要对于希尔伯特所谓的有穷主义是什么意思说几句话。 在好几点上，1920年代的希尔伯特纲领在一定程度上采纳了庞加莱和外尔的直觉主义，而强烈地偏离了希尔伯特本人在1900年的思想。这里正是其中一点。关键的思想是与弗雷格和戴德金的逻辑主义观点相反，逻辑和纯粹思维需要一些在我们从直接经验“直觉地”得到的东西：符号和公式。

1905年，庞加莱就已经提出一个观点，算术的相容性的形式证明会是循环论证，因为这样一个证明必须对公式和证明的长度归纳地进行，所以就会依赖于它想要证明的归纳法公理。希尔伯特在1920年代对此回应指出，在元数学层次上所需的归纳法，比完全算术归纳法要弱得多，而这种弱的形式是基于对我们直觉接受的符号作有穷考虑得出的。有穷数学不需要任何进一步的论证或化简。

希尔伯特纲领是先从研究弱的理论开始，再逐渐地进到较强的理论。一个形式系统的元理论研究的是诸如相容性、完全性和其他一些性质（“完全性”的逻辑意义，就是所有可以用这个演算来表示的真或者说有效的公式都可以在此系统里导出）。命题逻辑很快就被证明是既相容又完全的。一阶逻辑或称谓词逻辑是哥德尔在他的1929年的学位论文中证明为完全的。在整个1920年代，希尔伯特以及他的共同工作者的注意力都放在初等算术及其子系统上，一旦这一点解决了，就计划转移到更困难也更关键的实数理论和集合理论的场合。阿克尔曼和冯·诺依曼已经能够对算术的某些子系统证明相容性。 但是在1928年到1930年，希尔伯特深信，整个算术的相容性已经得到证明。就在这时，受到了哥德尔的不完全性定理的沉重打击。

用“形式主义”这个名称来描述这个纲领，来自于希尔伯特的方法在于把每一个数学理论都形式化，并形式地研究它的证明的结构，然而，这个名称相当片面其至有些混淆不清、特别是由于人们常把它与直觉主义对照着来看。直觉主义确实是一种成熟的数学哲学。但形式主义不然。希尔伯特和绝大多数数学家一样、从来没有把数学看成是用公式来玩的游戏，他时常强调（非形式的）数学命题之富有含义，以及它们的概念的内容的深度。

哥德尔和留下的创伤

哥德尔的著名的1931年的论文在《数学与物理学月刊》上发表，给了希尔伯特纲领一个沉重而又深刻的打击。元数学的一个极其聪明的发展——元数学的算术化——使得哥德尔能够证明、如公理化集合论和戴德金——佩亚诺算术这样的系统都是不完全的。就是说存在这样的严格地使用该系统的语言来陈述的命题p，使得p与非p 都不能在该系统中形式地证明。

这个定理给希尔伯特的努力提出了一个深刻的问题，因为它表明了形式证明甚至不能把算术问题都囊括在内。但是还有更甚者，详细地看一看哥德尔的论证就清楚了，这一个元数学的证明本身也可以形式化，这就引导到了"哥德尔第二定理"，用上述系统内的任意证明都不可能确立这个系统的相容性。哥德尔的元数学的算术化，使得可能用形式算术的语言来造出一个句子表示这一个系统的相容性，但这个句子恰好就在那些不能证明的句子之内。换一个角度来讲，关于1=0之不可证明性的一个有穷形式证明，可以变成此系统中的矛盾！所以，即令此系统真是相容的，其相容性也不会有有穷的证明。

按照哥德尔当时所谓的“冯·诺依曼猜想”（即如果有相容性的有穷证明，则此证明必可在初等算术内形式化地写出来），第二定理蕴含了希尔伯特纲领的失败。需要强调的是哥德尔的否定的结果完全是构造性的，甚至是有穷的，对于辩论的各方都是有效的。它们很难消化，但是到头来，引导到基础研究的基本事项的重新确立。

由于有根岑类型的证明理论，以及模型理论的兴起等，数理逻辑和基础研究继续光辉地发展，它们的基础都在20世纪前三分之一的基础研究中。虽然对于今天数学的绝大部分，策墨罗——弗朗克尔的公理系统已经足够给出严格的基础了，并且利用集合的"迭代"概念，已经有了相当能够服人的直觉的论证，普遍的感觉是基础研究并没有达到自己雄心勃勃的目标，"而是发现自己已经被卷入数学活动的漩涡里去了，现在在数学的元老院里面有着完全的选举权"。

然而，这个印象失之于过分表面化。证明论发展了，而在把经典理论化为可以认为是构造的系统方面得到了值得注意的化约方法。一个突出的例子是分析可以在算术的所谓保守扩张中形式化。 所谓保守扩张，就是说，它是算术的语言的扩张，其中包括了算术的所有定理；但又是"保守的"，就是说它在算术的语言上没有任何新的结果。分析的有些部分甚至可以在原始递归算术的保守扩张中发展起来，这就对相关的构造主义理论的可容许性的哲学基础何在提出了问题。但是对于这些系统，问题远不如希尔伯特的有穷数学那么简单。说迄今还没有一般的共识，似乎是公平的。

不论其根源何在，其存在的正当性的根据何在，数学总是一种人类的活动。这种说法的真实性可以从我们的故事后来的发展看得很清楚。数学社会拒绝放弃“经典的"思想和方法；构造主义的"革命"已经流产了。形式主义虽然有上述的失败，在实践中仍是20世纪数学所承认的意识形态。有人说。形式主义并不真是一种信仰，只不过是有些人一周的六个工作日都把数学对象当作很真实的东西在做，而到了星期日就把形式主义当作一个避难所罢了。也如一位布尔巴基的成员说的那样，什么时候才会放弃工作日里的柏拉图主义？只有在遇到关于数学知识的不受欢迎的哲学问题，需要一个现成的答案时才会放弃。

应该注意，形式主义很适合自觉的自治的做研究工作的数学家社会的需要。形式主义给他们以选择研究主题的充分自由，给他们使用现代数学工具去探讨这些主题的充分自由。但是对于那些惯于反思的数学家，很久以来就明白，这不是答案。关于数学知识的认识论问题，并没有"从世界上消除"；哲学家、历史学家、认知科学家和其他人一直在寻找理解数学的内容与发展的更充分的途径。不需要说这并没有威胁研究数学的人的自治——如果真关心自治的话、或许更应该关心市场和其他力量对我们施加的压力。

构造主义和现代数学二者都在发展，她们之间的对比简单地就是固化了，虽然是一种很不平衡的对比，因为实际在做工作的数学家 99%是"现代"数学家，阿达玛在评论1905年法国的辩论时说过“显然有两种关于数学的概念，有两种心理状况”。 现在应该认识到，两种途径各有其价值：它们是互补的，可以和平共存。

关于基础的辩论，在思想和结果上，在关键的洞察和发展上，都留下了很丰富的遗产，包括公理化集合论和直觉主义的兴起。最重要的发展之一是现代数理逻辑作为公理学的改进的发展，引导到递归和可计算性理论在1936年左右的发展。在这个过程中，我们对于形式系统的特征、可能和局限性的理解都大大澄清了。

在整个辩论中，最热门的主题可能也就是这场辩论最主要的来源，就是怎样理解连续统的概念。由于对康托的连续统假设的结果，更明确了这是一个迷宫似的问题，按照这个假设，实数集合的势（cardinality）是第二个超限数N1，或者用等价的说法表述即是：R的每一个无穷子集合，或者双射到N，或者双射到R自身。1933年哥德尔证明了连续统假设与公理化集合论是相容的，而科恩在1963年又证明了连续统假设与这些公理是独立的。

关于基础的辩论，也以一种确定的方式、对于澄清现代数学的特殊风格和方法论有贡献，特别是对于澄清现代数学的柏拉图主义和存在特性有贡献，它弄明白了现代数学的柏拉图主义和存在特性，只是一种方法论的特性，而不蕴含任何一种形而上学的存在性。现代数学是认为它的元素独立于人类的有效的定义能力和构建能力，这样来研究数学的结构的。这可能听起来惊人，但是，说不定这个特性可以用科学思想更广泛的特性来解释，用数学结构在给科学现象建模的作用来解释。

说到头，这场辩论弄清楚了数学及其现代方法还被重要的哲学问题包围着。很大一部分的数学知识可以认为是没有问题的，定理可以得到确立，问题可以解决，而且都是确定无疑的。但是凡是想要把它们的本原展示出来，哲学问题就不可避免。

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