数学界怎么确认公理（高中生看过来课本上的公理可以证明吗）

我们都学过初中平面几何，也都大概了解所谓的公理系统，即由一些基本的结论作为公理结合定义可以证明其余的所有的其他结论（也可以统称为定理）。我们也知道公理体系往往有两个基本特征：（1）相互之间不矛盾；（2）个数尽可能的少.

但是我们几乎都不知道，这些公理能否减少（即公理之间能否互相推证）以及如何由这些公理推出其他定理。

（1）直线公理：过两点有且只有一条直线。

（2）线段公理：两点之间，线段最短。

（3）垂直性质：同一平面内，经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

（5）平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

（6）两边及夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

（7）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

（8）三边对应相等的两个三角形全等。(SSS)

（9）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

其实，课本中还有很多结论都是没有证明的，基本也算是公理。例如

（10）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

（11）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等.（HL）

当然不同版本的教材选择的公理体系不尽相同，但是基本也都是大同小异。

我想很多人都思考过：上述11个公理能互相证明吗？最少需要多少个公理就能得到其他的剩下的公理呢？

让我们先从三角形内角和说起。

例1.证明三角形的内角和为平角.

证明：

如图，过A作AE//BC,

由两直线平行，同位角相等以及内错角相等，知

∠DAE=∠B,∠EAC=∠C,

从而∠C ∠B ∠BAC

=∠EAC ∠DAE ∠BAC

=∠DAB=180°.

这是一个众所周知的经典证明，证明的关键是用到了平行线的性质——两直线平行，同位角相等及内错角相等。不难看出同位角相等及内错角相等是等价的，我们重点考察其中的一个。不妨只考虑:两直线平行，同位角相等。

注意!这不是公理，上述公理（4）是其逆命题，虽然原命题和逆命题看起来很像，但是从逻辑上讲，他们的真假之间没有关系，所以要分别证明。当然往往原命题和逆命题的证明是类似的，或者可以通过其中的一个证明另一个。

例2：证明：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

证明：反证法，

若两直线平行，同位角不等，如图所示，

过B作∠ABF=∠ADE，

则由公理（4）：同位角相等，两直线平行得

BF//DE,又BC//DE，

这与公理（5）（平行公理）：

“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”

矛盾。从而假设不成立，原命题成立。

上述证明主要利用了公理（4）和公理（5）。

公理（5）是大名鼎鼎的平行公理，是无法证明的。那公理（4）呢？

例3：求证：同位角相等，两直线平行。

证明：反证法，如图，

若∠ABC=∠ADE,且BC,DE不平行，

则它们必相交于点F，

由“三角形外角大于不相邻内角”

知∠ABC>∠ADE,

从而与已知∠ABC=∠ADE矛盾，

故假设不成立，则原命题成立。

这似乎完成了全部的证明。但是仔细琢磨一下，上述证明中“三角形外角大于不相邻内角”是如何证明的呢？

常见的证明方法是由三角形内角和为180°知三角形的外角等于不相邻的两个内角之和。从而得到三角形的外角大于不相邻的内角。

这里明显出现了问题，因为用到了例1中的三角形内角和为180°的结论，这是典型的循环论证。

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