微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)

一阶线性微分方程式是微分方程中最简单的也是基本的,虽然看上去比较枯燥,但其背后的数学原理值得我们去学习和借鉴,本篇就来学习和探讨下。希望对大家有所帮助。

设一阶微分方程式

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(1)

的右端函数f(x,y)关于y是一次线性的,设其中函数a(x)与b(y)在区间α<x<β上是连续的,此时,相应的微分方程可以写成

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(2)

像这类的微分方程称之为一阶线性微分方程,不是线性的微分方程称之为非线性微分方程。

下面的一阶微分方程式叫做一阶线性微分方程式

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(3)

下面的一阶微分方程式叫做非线性微分方程式

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(4)

本篇内容是求解一阶线性微分方程式(1)

设b(x)=0,则线性微分方程式(1)变成

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(5)

2)式称之为齐次线性微分方程式,这个方程也是变量分离的方程,因此,采用变量法求出它的通解为(伙伴们可以试着去算下,很简单的)

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(6)

其中C是一个任意常数,为了诱导出一般线性微分方程(1)的解法,我们对齐次线性微分方程(2)的通解做一点分析,上式写成

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(7)

再对x求导数,即得

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(8)

令如下式子

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(9)

则得:

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(10)

或得到:

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(11)

由于μ(x)不等于0,所以得到

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(12)

这个微分方程实际上就是齐次线性微分方程式(2),因此如果把上面的步骤逆推而上,那么就得到线性微分方程式(7)的一种新的解法,即:根据(7),用函数μ(x)(线性微分方程7的积分因子)乘以(7)的两端,即得方程(6),从而方程(5)成立,再取不定积分,就得到微分方程(7)的通积分(4),用这种积分因子乘方程的方法求解齐次线性微分方程式,其优点是可以用类似的程序求解一般的线性微分方程式(1)。

2)设b(x)不等于0,则称线性微分方程式(1)为非齐次的,为了采用上述的积分因子法,我们把(1)写成与它等价的形式

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(13)

再用积分因子

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(14)

乘以方程(8)的两端,则得

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(15)

亦的

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(16)

两边取积分,则得到通积分

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(17)

其中C是任意常数,因此,方程(8)的通解为

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(18)

例子:求解如下微分方程式

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(19)

其中K,ω,p都是正的常数。

这是一个非齐次的一阶线性微分方程式,它的积分因子为

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(20)

用它乘微分方程式的两端,则得到

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(21)

再取不定积分,得

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(22)

从而求得微分方程式的通解为

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(23)

再通过对右边不定积分的计算,则得

微积分最简单的微分方程(带你走进微积分的大门)(24)

其中C是任意常数。

希望大家感兴趣和讨论

,

免责声明:本文仅代表文章作者的个人观点,与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并自行核实相关内容。文章投诉邮箱:anhduc.ph@yahoo.com

    分享
    投诉
    首页