矩阵乘法的运算规则(形象直观的2X2矩阵)
2X2矩阵是线性变换中的基本矩阵,关于它的运算大家早已熟悉,但你知道它背后的原理吗?
先来了解几个运算概念
保持i不变,j在平面上旋转,向一边挤压,这样的变换矩阵我们称为剪切矩阵。
由此可得出xy在剪切变换后的位置。
我们来看一个图形的两次变换:
i j逆时针旋转90度
在经过剪切变换,就得到如图的样式
所以这个变换就是旋转和剪切的复合变换,假设i j变换后的向量是i=<-1,0> j=<1,1>
就得到如下等式
整理就得到一个2X2矩阵,
这样的推导是否正确的,来看一个旋转和剪切的过程的例子。可以说明这一点
我们分部来看2X2矩阵相乘的意义,M2是个剪切矩阵,M1第一列在图中的位置
M2乘以<1,1>就得到如图的位置
M2乘以<-2,0>就得到如图的位置
最后就得到如下结果
上述的原理具有普遍性:
最终得到通用的2X2矩阵乘法公式:
矩阵相乘是否满足交互率呢?
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同样单位矩阵,先剪切变换,后旋转变换的图形:
i <1,0>,剪切后<1,0>,旋转90度后<0,1>
j<0,1>,剪切 后<1,1>,旋转90度后<-1,1>
同样单位矩阵,先旋转变换,后剪切变换的图形:
i<1,0>,旋转90度后<0,1>,剪切后<1,1>
j<0,1>,旋转90度后<-1,0>,剪切后<-1,0>
所以明显两个图形不一样,所以矩阵不满足乘法交换律
是否满足结合律呢?有兴趣的朋友可以自己验证下
以上就是矩阵复合运算,也就是2X2矩阵的乘法运算。
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