三角形中的几何运算练习题（利用三角形重心性质渡劫选择压轴题）

利用三角形重心性质渡劫选择压轴题

说起三角形的重心，多数学生都会想到三条中线的交点，然后便是实际应用例如顶起一块三角形木板之类的问题，却极少有更深入理解重心与中线之间的数量关系。而在选择题最后一题，俗称选择压轴题当中，这些“冷门”知识恰恰能派上大用场，甚至非它无解。

题目

解析：

以常规常法思考时，一些必要的线段需要先连接起来，例如切点和圆心，因此，当我们连接之后，可以很容易得到AG为∠BAC的角平分线，延长它与BC相交于点F，是否AG也为BC边上的高呢？这实在是非常像“三线合一”，可惜，根据已有的条件，全等三角形无法判定，这属于“边边角”，思维就此陷入困境，如何渡过这个劫难呢？

既然AG是中线，则F点一定是BC中点，常见辅助线作法中，有中线倍长构造全等的思路，刚才的△ABF与△ACF没法证全等，总能构造出另外一对全等三角形吧？于是延长AF至点M，使FM=AF，再连接BM，如下图：

显然△ACF≌△MBF，于是∠CAF=∠M，得到AC∥BM，再由AG为∠BAC角平分线，得到∠BAF=∠M，于是△ABM为等腰三角形，而点F同时也是AM中点，于是由三线合一，得到AF⊥BC。

至少此时说明题图是有意“误导”，可见平时养成规范作图的习惯有多么重要了。

接下来，我们可以找到一对相似三角形，△ADG∽△AFB，之所以选择这一对，是因为它们中，△ABF的两边已知，分别是4和3，另一边可通过勾股定理求得为√7，那么另一个△ADG中，三边之比必定是3：4：√7，于是设DG=3x，AG=4x，至此又陷入第二个困境，FG长度未知。

有学生在此进行了尝试，将FG表示为√7-4x，然后无论是利用双勾股或相似比，结果无一例外成为恒等式，说明FG的长度需要另想办法。

FG是中线AF的一部分，是中线AF被重心G分割出来的一部分，那重心分割的中线两部分之间又有什么关系呢？让我们回忆一下重心的相关知识，如下图：

在△ABC中，O为三条中线交点即重心，于是图中△AOE、△AOF、△BOF、……面积全都相等。因此，△AOB面积是△AOE的两倍，而它们等高，于是OB=2OE，同理，重心O将每条中线都分成1：2两部分。

回到题目当中来，点G将AF分成的两部分AG=2FG，于是我们便可以继续刚才的思路了。

设DG=3x，AG=4x，于是FG=2x，而AF=√7，所以4x 2x=√7，解得x=√7/6，然后求出GH和FG，利用勾股定理求出HF，最后由垂径定理，HK=2HF，计算出结果为√35/3，选A。

解题反思

重心推导出来的这个结论，在人教版教材中并没有专门说明，课堂上最多拓展到中线所分割成的六个小三角形面积相等，但只要再多走一步，深入一层，便可得到上述结论。在这道选择题中，如果没有它，后续思路无法进行。

从命题角度来看，它所用到的知识点没有超出教材范畴，依然是常规常法，同时由于位处选择题，对解题过程并没有过多要求，但思维上的难度一点也不低，哪怕只是记住了重心的结论，此题也能迅速解得。这考察的就是学生平时的归纳总结能力，一般情况下，只理解了重心是三条中线交点的，没思路，二般情况下，理解了中线所分两个三角形面积相等的，隐约可见，三般情况下，理解了重心将中线分成1：2两部分的，秒答。