第二类曲线积分的直接计算方法（第一型曲线积分与第二型曲线积分的计算方法）

第二型曲线积分对应的一个经典物理场景就是一个质点在外力的作用下从A走过一段曲线移动到B，求力所做的功。因为力和位移都是有方向的，把这个物理场景进一步抽象，就有了下面的第二型曲线积分的定义。

上一期说到了第一型曲线积分，可以看到第二型曲线积分与第一型曲线积分的区别，那就是对于平面内的曲线L的第二型曲线积分，它有两个函数，而第一型曲线积分只有一个函数，这是为什么呢？其实这两个函数就是一个向量函数在x和y轴上的分量，所以如果曲线是在空间上的曲线，那么第二型曲线积分就有三个函数，分别是向量函数在x，y，z轴上的三个分量。

除此之外，第二型曲线积分的曲线L也是有向线段，第一型曲线积分的△si是恒大于0的，而对于第二型曲线积分，由于△xi和△yi是前后两分点的横坐标、纵坐标之差，所以有正有负，如果曲线的方向反向，那么第二型曲线积分的值也将改变正负符号。若记 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)), ds=(dx,dy),则前面第二型曲线积分可以写成向量形式：

下面来说第二型曲线积分的计算，直接应用上一期文章中的定理1。

设曲线L用参数方程表示为：

这里计算的背后原理在上一期定理1中已经证明，对于平面内的曲线，其第二型曲线积分就是求两个定积分然后加起来，如果是空间曲线上的曲线积分，则是三个定积分相加。下面用例子来展示第二型曲线积分的计算。

现在说说两类曲线方程的联系。前面说道曲线L可以用参数方程表示，如果让弧长s作为参数，那么x就是弧长s的函数，y就是弧长s的函数，即

于是根据根据第二型曲线积分的计算方法，

这样第二型曲线积分就转换成了第一型曲线积分。