复数的三角函数的基本形式（用复数认识三角函数和角公式）

今天是2019年最后一天，明天就是2020年了，嗯嗯，“爱您爱你”，朋友们，祝福你们新的一年里，顺心顺意。

我们呢，还处于游学的状态，当然要学一些新的知识，接着昨天吧。

三角函数在初等数学和高等数学，在书本与现实之中都是非常重要。不过，还有多少在我们少年时代学习之后留到了中年的我们的大脑呢，我也记不得许多了，那是因为，我当年真的是在背下那些公式之后，在做题与考试的时候是在套公式，对那些公式的理解真的是很肤浅。

这些天，为了给弯弯进行三角函数的启蒙，为了让她不再去记忆数学，让她感觉到数学之美，我先行看了一些三角函数的资料，发现并不是所有的教学都是让孩子们去背公式。

还记得一个数乘以1不变，乘以负1，要变号吗，这样子的概念几乎不用考虑我们就能够快速的记得，那还有更加深层的意思吗？

有的，那就是：如果我们把数域扩展到复数之后，i*i=-1,那么，一个复数乘1，表示，它的转动角度为零，也就是不变；一个数乘i，表示转动90度;一个数乘-1，相当于乘以i，再乘i，就是转动了两个90度，也就是180度，那刚好反向。

其实，任意一个复数都可以用三角函数表示，记：x iy=r(cos(a) isina(a))的形式，要把它转动角度b之后是什么呢，那就是：r(cos(a b) isina(a b))=r(cos(a) isina(a))*(cos(b) isina(b))。把它整理之后就是三角函数之中的和角公式。

在进行复数转动认识之前，先进行特殊角的复数，用三角函数来表示，当比较熟练的转化之后，再进行下一步，一定要把这个讲明白。

当比较熟练的进行复数三角函数表示之后，就找一些比较容易理解的角度进行转动实践，比如：30 30；30 90；30 180；等等，先直接在坐标系下用单位圆画出来，看看，转动之后是什么样子，然后用复数乘法去验证它。

最后，抽像出这种方法，写下它的通式，比较实部和虚部，就得出了三角函数的和角公式。

弯弯对这种推导的方式很快就明白了，这两天还要用它们来做倍角、半角公式的推导，也许使用多了，也会理解更加深入一些吧。

这种理念，比用几何的方式去证明和角公式，要直观和容易理解很多，至少我是这么认为的。