小学数学奥数等量关系（小学奥数知识点）

例1：

最初的数和最简的图相对应.

这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的.

例2：

我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图).图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示.你能把这张图用自然数写出来吗?见下图所示，这个图又叫九宫图.

例3：

古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘.比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形数.因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图.

毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数.

第一个数：1=1

第二个数：3=1 2

第三个数：6=1 2 3

第四个数：10=1 2 3 4

第五个数：15=1 2 3 4 5

…

第n个数：1 2 3 4 5 … n

指定的三角形数.比如第100个三角形数是：

例4：

毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图.因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇.

第一个数：1=12=1

第二个数：4=22=1 3

第三个数：9=32=1 3 5

第四个数：16=42=1 3 5 7

第五个数：25=52=1 3 5 7 9

…

第n个数：n2=1 3 5 9 … (2n-1).

四角形数(又叫正方形数)可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和.奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数.

例5：

类似地，还有四面体数见下图.

仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数.因此四面体数可由几个三角形数相加得到：

第一个数：1

第二个数：4=1 3

第三个数：10=1 3 6

第四个数：20=1 3 6 10

第五个数：35=1 3 6 10 15.

例6：

五面体数，见下图.

仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：

第一个数：1=1

第二个数：5=1 4

第三个数：14=1 4 9

第四个数：30=1 4 9 16

第五个数：55=1 4 9 16 25.

例7：

按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式.

由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系.

方法1：先算空心点，再算实心点：

22 2×2 1.

方法2：把点图看作一个整体来算32.

因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：

22 2×2 1=32.

方法1：先算空心点，再算实心点：

32 2×3 1.

方法2：把点图看成一个整体来算：42.

因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：

32 2×3 1=42.

方法1：先算空心点，再算实心点：

42 2×4 1.

方法2：把点图看成一个整体来算52.

因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：

42 2×4 1=52.

把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：

22 2×2 1=32

32 2×3 1=42

42 2×4 1=52

…

n2 2×n 1=(n 1)2.

利用这个公式，也可用于速算与巧算.

如：92 2×9 1=(9 1)2=102=100

992 2×99 1=(99 1)2

=1002=10000.

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