数学六种曲线（关于数学曲线的老问题被一对年轻夫妇证明了）

几何学的一个基本事实是，你可以画一条穿过平面上任意两点的线。再多点，你就不走运了：一条线不太可能穿过所有的点。但你可以让一个圆通过任何三个点，而圆锥截面（椭圆、抛物线或双曲线）可以通过任何五个点。

更一般地说，数学家想知道什么时候可以通过任意多个维度上的任意多个点绘制曲线。这是一个关于代数曲线的基本问题，被称为插值问题，代数曲线是数学中最重要的对象之一。斯坦福大学数学家拉维·瓦基尔（Ravi Vakil）说：“这实际上是为了理解曲线是什么。”。

但生活在更高维度上的曲线，尽管已经用最先进的工具研究了数百年，却是一种棘手的动物。在二维空间中，一条曲线可以用一个方程来表示：一条直线可以写成，的圆。然而，在三维或多维空间中，曲线变得复杂得多，它通常由太多变量中的太多方程定义，因此您不可能完全理解其几何结构。因此，曲线最基本的属性极难掌握-包括它是否通过空间中的一些点的集合这一看似简单的概念。

几个世纪以来，数学家一直在证明插值问题的例子：例如，你能把一条具有特定属性的曲线穿过三维空间中的16个点，或者五维空间中的10亿个点吗？这项工作不仅使他们能够回答代数几何中的重要问题，还帮助激发了密码学、数字存储和其他领域的发展，远远超出了纯数学。

尽管如此，瓦基尔说，理解大多数曲线的插值是不够的。数学家们都想知道这一点。

现在，在今年早些时候发布在网上的一份证明中，布朗大学的两位年轻数学家埃里克·拉森和伊莎贝尔·沃格特终于对这个问题进行了最后的打击，彻底、系统地解决了这个问题。这篇论文标志着近十年工作的高潮，在此期间，他们逐渐解决了这个问题，解决了有关曲线的外观和行为的重要问题，并结婚了。

德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家萨姆·佩恩（Sam Payne）说：“这真是一个了不起的故事，这么年轻在数学发展的早期就抓住了如此深刻、困难的问题，然后又如此执着。”

Embedding Curves

插值问题的解决方案建立在19世纪的工作基础上，这项工作回答了一个更基本的问题。外面到底有什么代数曲线？

曲线是位于高维空间中的一维对象。虽然通常不清楚如何使用特定方程来描述曲线，但数学家可以根据某些数值特性来描述曲线。第一个是曲线所在空间的维度。第二个是曲线的阶数，它与超平面相交的次数，超平面是一个子空间，其维数比空间的维数小一倍。例如，二维平面中的一个圆的阶数为2，因为当用一维直线剖切时，直线通常在两点处碰到它。同时，嵌入20维空间的曲线的阶数是它与19维超平面相交的次数。你可以把度看作是曲线扭曲程度的一种度量。

数学家用来描述曲线的第三个数字称为其亏格。因为曲线是用复数定义的一维对象，所以它的每个点也可以写成一对实数，而不是一个复数。这意味着，从拓扑的角度来看，曲线实际上看起来像一个二维曲面，并且该曲面可以有孔。（一个典型的例子是甜甜圈的表面。）那么，一条曲线的亏格就是它有多少个孔。

在数学家们开始思考给定的属和阶的曲线可能是什么样子之前，他们需要先弄清楚这些曲线何时存在。即使是这样，结果也是一个巨大的挑战。

19世纪70年代，数学家亚历山大·冯·布里尔（Alexander von Brill）和马克斯·诺瑟（Max Noether）（著名数学家艾美·诺瑟的父亲）仅使用三个属性进行了预测：，或其或其扭曲度；以及曲线所处的。他们推测，当且仅当一条给定亏格的曲线的阶数足够大时，也就是说，如果该曲线足够软，则可以将该曲线嵌入到给定维数的空间中。他们用g、d和r写出了一个精确的不等式，并认为只有当这个不等式成立时，你选择的曲线才有可能。

但他们的论点没有得到实际的证明。这不会持续一个多世纪，1980年菲利浦·格里菲斯和乔·哈里斯用现代代数几何技术证明布里尔-诺瑟定理确实成立。（从那时起，数学家们对该定理提出了大约六种不同的证明，并围绕它发展了丰富的理论。）

伊莎贝尔·沃格特是布朗大学的数学家，致力于代数几何和数论的交叉。她的大部分工作集中在代数曲线的几何上

这一结果最终使数学家有可能回到插值问题-即，计算出一条亏格为g且阶为d的曲线在r维空间中可以通过多少个随机点。（这里，曲线被称为“一般”，这意味着它不会以特殊的方式嵌入空间。）基于布里尔和诺瑟的工作，他们对这个问题的答案进行了有根据的猜测。与Brill-Noether定理一样，它以曲线参数需要满足的特定不等式的形式出现-这一次不仅用、和表示，还用n表示，n表示点数。

但与布里尔-诺瑟定理不同，这条规则有明显的例外，曲线的几何结构限制了它本来可以通过的点的数量。佩恩说：“这已经表明，这是一个硬定理，这是个深定理，需要大量的工作。”。

这就是拉森和沃格特感兴趣的问题。他们的部分灵感来自哈里斯，2011年他们在哈佛大学（Harvard University）一起读本科时，哈里斯是他们的教授之一。哈里斯后来成为拉森的博士顾问和沃格特的共同顾问，当时他们在麻省理工学院（Massachusetts Institute of Technology）读研究生，开始认真研究插值。

Breaking the Problem

拉森在研究代数几何中的另一个主要问题，即最大秩猜想时，开始研究插值问题。作为一名研究生，当他把目光放在这个已经开放了一个多世纪的猜想上时，这似乎是“一个非常愚蠢的想法，因为这个猜想就像一个墓地，”瓦基尔说。“他试图追求比他年长得多的人在很长一段时间内都失败的东西。”

但拉森坚持了下去，2017年，他提出了充分的证据，证明他是该领域的新星。

证明的关键在于解决插值问题的各种情况。这是因为拉森的最大秩猜想方法（也是关于代数曲线）的很大一部分是将感兴趣的曲线分解为多条曲线，研究它们的性质，然后以正确的方式将它们粘在一起。为了把这些简单的曲线粘在一起，他必须让它们中的每一条都通过同一组点-这反过来意味着证明一个插值问题。“插值为你提供了一台构建这些（更复杂）曲线的机器，”拉尔森说。

沃格特已经在研究插值。在她在研究生院写的第一篇论文中，她证明了三维空间中插值的所有情况（包括所有例外）；第二年，她与拉森合作解决了四维空间的问题。尽管这对夫妇后来在其他项目上进行了合作，“这就是我们开始合作的方式，”Vogt说。同年，也就是拉森发布其最高排名证明的那一年，他们结婚了。从那时起，他们经常在晚饭后讨论想法，在家里的黑板上解决问题。

插值问题询问特定类型的曲线是否可以通过给定的随机点集合。为了证明这一点，两人必须证明曲线可以在空间中以特定的方式摆动。例如，考虑一条线上的三个点。如果将一个点稍微移离直线，但保持其他两个点固定，则无法以任何方式移动直线，使其通过新的点配置。试图击中所有三个将迫使线弯曲，使其不再是一条线。因此一条线可以通过两个点而不是三个点进行插值。

数学家们想在高维空间中为更复杂的曲线找出类似的东西-在某些点上移动它们，并研究它们是如何移动

要做到这一点，他们需要研究一种称为曲线法线束的结构，它本质上控制曲线如何摆动。然后，插值问题可以重写为一个关于计算曲线法线束性质的问题。

但是，对于拉森和沃格特所关注的更复杂的曲线，研究这些曲线变得非常困难。因此，他们使用了与Larson在证明最大秩猜想时使用的策略类似的策略。给定一个曲线，他们把它分成了碎片-但很微妙，就这样。瓦基尔说：“他们解决了这个问题，并打破了它，但方式恰到好处，这样他们就可以清楚地看到到底发生了什么。”。

举一个简单的例子。假设你在平面上有一条双曲线，一条看起来像一对相互背离的镜像弧的曲线。您可以“变形”该曲线，直到它分成两条更简单的曲线，在这种情况下，一对线以X形状相互交叉。双曲线几何的某些方面仍然反映在这些线的几何中。但由于这些线更简单，它们更容易使用，也更容易分析它们的法线束。

这就是说，你不能简单地看单个直线的法线束，然后立即将其转化为对双曲线法线束的理解。这是因为在两条线相交的地方，从某种意义上说，法线束的行为是错误的。相反，数学家必须对正规丛进行某些修改。

当然，拉森和沃格特不是在研究双曲线和直线，而是在更复杂的情况下。他们首先将一条复杂的曲线分成两部分：一条直线和一条在一个或两个点与该直线相交的更简单（但仍然复杂）的曲线。然后，他们将把更复杂的曲线一分为二，一次又一次地重复这个过程，直到他们把所有的东西都简化成真正简单的“基础”曲线，“这是一种你可以徒手计算出来的东西，”Vogt说。在整个过程中，他们必须跟踪碎片的正常束-以及对这些正常束的所有修改，以证明他们需要证明的原始正常束。

但这些打破曲线的方法还不够。它们并不适用于布里尔-诺瑟定理所涵盖的所有曲线。

拉尔森和沃格特不得不引入一种新的方法来分割曲线，这种方法不需要将其中一条曲线分割成一条直线。弄清楚这一点是一个挑战，不仅是因为它在他们的论证中的某一步可能无法达到他们想要的效果，还因为他们必须注意插值语句不成立的例外情况。沃格特说：“你的论点必须足够复杂，因为你永远不能以例外作为你的基本情况。”。“那真的很糟糕。”

作为2017年的研究生，数学家埃里克·拉森解决了最大秩猜想，这是关于代数曲线的一个主要开放问题

最终他们找到了一种方法。哈里斯说：“这在技术上非常困难。这是一个非常、非常苛刻的建筑论证。”。“坦率地说，我认为这需要具备拉森和沃格特的非凡技能的人来完成。”

同时，他们开发了处理在争论过程中对法线束的所有修改的方法。柏林洪堡大学的数学家加夫里尔·法卡斯（Gavril Farkas）说：“跟踪所有这些数据，并将其贯彻到底，这是一项了不起的壮举。”

“埃里克真的很擅长这件事，”沃格特说。伊利诺伊大学的数学家Izzet Coskun经常与Larson和Vogt合作，他同意这一观点。“埃里克有点吓人，”他说。“对我们大多数人来说，我们看到了一组12个不等式，我们放弃了，眼睛呆滞……但他没有放弃。对他来说，没有什么太复杂的。”

最后，Larson和Vogt证明了曲线将始终通过预期的点数进行插值，但四种特殊情况除外。他们提供了这四种类型的曲线通过意外数量的点进行插值的几何原因。这样，他们就一劳永逸地解决了这个问题。

肯塔基大学的数学家戴夫·詹森（Dave Jensen）说：“他们让争论看起来很自然。就像，这似乎很不奇怪。”。“这很奇怪，因为这是其他人试图证明但无法证明的结果。”

法卡斯说：“这纯粹是毅力。不仅仅如此。事实上，能够完成这项任务真是太棒了。”。“这是很值得一看的。”

A Family Legacy

虽然这一证明可能标志着一条叙事线索的结束，但从数学和个人角度来看，故事还远未结束。

你可以问很多关于曲线的问题。拉尔森和沃格特的工作提供了一种方法，可以找到这些核心但难以捉摸的数学对象。科斯昆说：“我认为现在很多经典问题都更容易解决了。”。“我们认为你根本无法开始思考的事情……现在你可以问了。”

与此同时，拉森的妹妹汉娜·拉森（Hannah Larson）也是一名数学家-今年春天从斯坦福大学（Stanford University）获得博士学位后，目前是一名粘土研究员-正在研究代数曲线和布里尔-诺瑟理论的相关问题。“她是一台机器，”瓦基尔说，她是她的博士生导师。“她什么都能做。”

她最近开发了一个新的布里尔-诺瑟定理的证明，瓦基尔称之为最先进的。她也一直在独立工作，并与她的兄弟和Vogt合作，为某些特殊曲线证明类似的Brill-Noether定理。“他们真是一个令人印象深刻的家庭，”詹森说。

汉娜·拉森在谈到与哥哥和嫂子一起工作时说：“我们能一起做这样的事情真是太有趣了。”。

和她的哥哥一样，汉娜在上了哈里斯教授的课后，在本科时受到了学习这些材料的启发。但她也感谢埃里克和伊莎贝尔对这个主题的一些兴趣。她说：“当你和某人在一起，看到他们在做数学或某一类数学时有多开心，这让我也想试试。”

瓦基尔说：“真正整洁的是，他们相处得非常好。”。“人们不应该像他们三人相处得那么好。”

他们现在继续在阐明不同类型的曲线是什么样子、它们的行为以及这对其他数学问题可能意味着什么方面取得进展。汉娜·拉森说：“所以这个故事在任何方面都不完整。”。

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