统计学概率与抽样分布（每天一点统计学）

从同一总体中取得的所有大小为n的可能样本，由这些样本的比例形成的一个分布，就是比例的抽样分布。用Ps代表样本比例的随机变量。比例的抽样分布其实就是一种概率分布，由所有大小为n的可能样本的各种比例构成。如果我们知道这些比例的分布，就能利用这个分布求出一个特定样本的比例的发生概率。

通俗地解释：比例的抽样分布要解决的是“已知总体的相关参数，要求解某样本比例的发生概率”的问题。具体计算步骤如下：

1. 查看特定样本大小相同的所有样本。如果有一个大小为n的样本，就需要考虑所有大小为n的可能样本。

2. 观察所有样本比例形成的分布，然后求出期望和方差。每个样本都有自己的情况，因此每个样本比例的目标概率都可能不同。

3. 得出上述比例的分布后，利用该分布求出概率。

在《每天一点统计学——样本预测总体》中我们已经了解，期望样本的成功比例与总体的成功比例是一致的，假设期望的成功概率为p，不成功的概率为q，那么比例抽样分布的期望的计算公式如下：

比例抽样分布的期望

在《每天一点统计学——二项分布公式的推导和使用》也涉及到相关方差的计算，比例抽样分布的方差计算也需要根据二项分布方差的公式进行推导：

比例抽样分布的方差

比例抽样分布的方差与n相关。n越大，方差越小。也就是说，样本比例包含的对象越多，用样本比例作为p的估计量就越可靠。

求出期望和方差后，可以画出比例抽样分布的图形：

比例抽样分布的正态分布图

比例抽样分布是是符合正态分布的，当n越大，比例抽样分布越接近正态分布。所谓“大”，这里特指大于30。

我们知道，正态分布是连续型分布。但是，每个样本的“成功数目”都是离散的。因此在用正态分布计算概率时，要进行连续性修正。连续性修正的公式如下：

连续性修正

例子：糖果总体的25%为红色，在一盒装有100粒糖果的包装盒中，至少有40%红色糖果的概率有多大？

假设Ps表示盒中红色糖果的比例，p表示红色糖果的概率，则p=0.25，q表示不是红色糖果的概率，则q=0.75，n表示样本大小，则n=100。分布计算如下：

1、求期望：E（Ps）= p = 0.25；

2、求方差：Var（Ps）= (p*q) / n = (0.25*0.75) / 100 = 0.001875;

3、Ps服从参数0.25、0.001875的正态分布，记作：Ps~N(0.25,0.001875);

4、求P（Ps >= 0.4）的数值，先进行连续性修正：

P（Ps >=0.4） = P（Ps >=0.4 - 1/(2*100)） = P(Ps >= 0.395)

5、通过查询正态分布的概率表(见正态分布这一节)，可以得出：

P（Ps >=0.4） = 0.0004