中考二次函数面积问题(二次函数与三角形面积问题)

【面积最大值】

每年的中考题中都会出现大量与面积有关的压轴题,要学会三角形的面积求法,并推广到任意多边形面积的求法。

这是非常重要!

【典型例题】

如图,二次函数y=-x² 2x 3与y轴, x轴交于点A , B,

点C是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与点A , B重合),

求△ABC面积的最大值.

中考二次函数面积问题(二次函数与三角形面积问题)(1)

【分析】求面积的最值问题,通常设出点的动点的坐标,引入未知数来表示出面积,再利用二次函数的性质求解即可。

【方法一】分割——铅垂(高)法

过点C作CD⊥x轴,垂足为D,交AB于点E,

S△ABC= S△ACE + S△BCE =1/2OB·CE

中考二次函数面积问题(二次函数与三角形面积问题)(2)

【方法二】补全

过点C作CD⊥y轴,垂足为D,过点B作BE⊥x轴,交CD于点E,

S△ABC= S矩形OBED - S△OAB - S△ACD - S△BCE

S△ABC= S梯形ABED - S△ACD - S△BCE

中考二次函数面积问题(二次函数与三角形面积问题)(3)

备注:本题此法繁琐,不建议用

【方法三】补全

连接OC

S△ABC= S△OAC +S△OBC - S△OAB

中考二次函数面积问题(二次函数与三角形面积问题)(4)

备注:此法最容易掌握

【方法四】平移

过点C作CD∥AB,分别交y轴,x轴于点D,E

S△ABC= S△ABD

中考二次函数面积问题(二次函数与三角形面积问题)(5)

S△ABC= S△ABE

中考二次函数面积问题(二次函数与三角形面积问题)(6)

【方法五】直接求

过点C作CF⊥AB,垂足为F

S△ABC= 1/2AB·CF = √2/4AB·CE

中考二次函数面积问题(二次函数与三角形面积问题)(7)

备注:一般此类题目皆可直接求三角形面积,用相似或三角函数表示高。

【方法六】公式法

拓展:如图,A(x1,y1),B(x2,y2),

S△ABC= 1/2 |x1y2−x2y1 |

中考二次函数面积问题(二次函数与三角形面积问题)(8)

把△ABC向左平移3个单位长度,得到△OA′C′

S△ABC= S△OA′C′=1/2 |xAyC-xCyA |

中考二次函数面积问题(二次函数与三角形面积问题)(9)

备注:以上三角形面积公式可用于选择、填空题快速求得。

发现:

当点C在OB的垂直平分线上时,S△ABC最大,

即x=(0 3)/2=3/2时, S△ABC最大

中考二次函数面积问题(二次函数与三角形面积问题)(10)

注意:点C的位置和点A、B关系密切,聪明的你,思考下,为什么会如此?

【举一反三】

如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.

中考二次函数面积问题(二次函数与三角形面积问题)(11)

还有哪些方法,post出来吧!

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