3d绘画村庄 印度大婶的地板画艺术2

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

Rangolee是一种古老的印度地板装饰艺术，建立在矩形或六边形点阵上，作为基于自然/文化世界抽象的设计和图案的基础。在本文中，我们根据rangolee设计的创作方法和出现的动机对其进行分类。我们将这些传统和当代设计与数学领域独立出现的图案和模型联系起来。这包括各种对称群、螺旋、镜像曲线、分形自相似和迭代过程。

印度大婶的Rangolee艺术

Rangolee：“Rangolee”在印度语中称为Marathi，意思是彩色线条："rang "指颜色，"oralee "指线条。Rangolee是一种古老的地板装饰艺术，用于欢迎客人、带来新的季节、婚礼、生日等场合。Rangolee这个词也被用来指用于绘制图案的粉末。这种粉末可以通过碾碎火石或大米制成。在印度南部，最常使用的是米粉。

用拇指和食指夹住一撮粉末。滚动拇指，慢慢地将粉末释放出来，形成一条细流。自由移动手，画出点和线。这需要大量的手和眼的协调，就像最初绘制等距离的长方形或六边形的点阵一样，开始了绘制过程。

分类：有三种基本的绘画方法，我们可以用这些方法对设计进行大致分类。

(a) 将点画成矩形或等距格子的一部分，然后按照一定的顺序连接起来，形成几何形状，或图案，或自然物体，如水果、树叶、花朵、动物或鸟。图1a、1b、1c和1d就是这种形式。

(b)如(a)所示绘制点，并在点周围绘制曲线，形成几何图案或自然物体。这些被称为kolam。图1e中的梵天结是kolam。

(c)徒手绘制几何形状的图画(圆形更常见，但也有正方形和三角形的形式)历史、史诗或宇宙古史(传统故事)中的自然物体或场景。一个对称的顶篷可以围绕着一个餐盘或木板，邀请客人、新婚夫妇或新妈妈坐在上面。

图1a: 椰子 图1b: Koyaree 图 1c: Bilve patra 图 1d: 海龟 图1e: 梵天结

人们也可以将rangolee分为传统设计和当代设计。

传统设计：图1a-1e和2a-2c中的传统设计要么具有特殊的文化意义，要么具有宗教意义。简而言之，koyaree代表芒果种子，saraswatee代表知识女神，nabhi kamal代表宇宙脐带的莲花，bilve patra代表Rutaceae（湿婆神的最爱）的叶片，dnyan kamal代表知识的莲花。除此以外，还发现了太阳、月亮、卍字、牛蹄印和海螺的自由手绘。

图2a：Saraswatee 图2b：Nabhi Kama l图2c：Dnayn Kamal 图2d：当代

当代设计：当代设计要么是用点画的，要么是徒手画的。点被连接起来形成自然物体，如花、鸟、动物或几何形状，如图2d所示。在rangolee中，人们更容易看到像玫瑰、芙蓉和莲花这样的花朵，或者像天鹅、鹦鹉和孔雀这样的鸟类，或者像大象、鱼或鹿这样的动物。

在Rangolee设计中感受到的数学

因为它们本质上是基于晶格对称性和从自然世界中抽象出形式的设计，所以在rangolee设计中我们可以从数学世界中找到各种形式和模型的表现也就不足为奇了。在这一节中，我们说明了一些我们已经能够找到的形式：对称性、分形、镜像曲线、循环顺序和迭代。

图案：以六边形阵列画点，在垂直向上或向下移动时减少每一行的点的数量，这在传统的rangolee 设计中是很常见的。有趣的是，从一组给定的点中，我们可以看到有多少种可能的方式来绘制一个图案。一个由四个水平等距的点组成的基础，在顶部和底部都减少为一个，可以连接起来形成封闭的图案。在一个案例中，这创造了椰子的基本图案，而在另一个案例中，一个小的菱形被嵌入一个较大的菱形中。椰子图案很突出，因为它既有趣又漂亮。原因可能是所有的点都以某种方式相互连接。

分形：分形大约在30年前开始流行，尽管它们一直存在于自然界中，像谢尔宾斯基地毯这样著名的分形可以追溯到近一个世纪。分形的一个共同来源是递减的自相似性。我们可以在图3a中感知到2级分形的自相似性，其中基本的十字架在三个尺度上重复。

镜像曲线：Gerdes[4]将非洲的一些设计描述为m-canonical镜像曲线。这些设计与kolam rangolee非常相似。其中的线条是欧拉路径的例子，设计完成后不需要从表面提起铅笔，也不需要回溯线条的任何部分。它们被称为单线。其他的是双线或三线。有三种镜像曲线：简单、规则和米字形。见图3b和图3c。

图3:(a)葡萄藤 (b)简单图 (c)规则图 (d)Saraswatee：前三次迭代

循环顺序：

A.Dnyan kamal:有两种方式连接点，产生相反形式的循环对称，如图2c所示。

1) 1到4，2到5，形成两个顺时针螺旋；3比1、4比2和5比3形成三个逆时针螺旋。这是最常见的连点方式；

2)连接1到3、2到4、3到5形成三个顺时针螺旋；并且连接2比1和3比2以产生两个逆时针螺旋。

Siromoney [2]将点连接的顺序描述为(1，3，5，2，4，1)。重复这个模式8次后，dnyan kamal就完成了。这是一幅单线图。

B.Saraswatee:图3d显示了用一根、两根和三根手杖绘制的Saraswatee。手杖上的数字应该有助于理解连接它们的顺序，如下所述。

用一根手杖连接的Saraswatee的顺序是1到1

两根手杖的顺序是1到2，2到1

三根手杖的顺序是1到3，2到2，3到1。

……

N根手杖的顺序是1到N，2到N-1，...N-1到2，N到1

迭代：从基本图案中制作更大的图案是一项有趣的、具有挑战性的活动。例如，我们在上面看到如何绘制椰子的基本图案。我们可以在六边形格子的八个点的基础上进行迭代构建。进一步的迭代是基于十二个点。我们可以把这写成递归的形式，其中点的数量由n(i 1) = n( i ) 4给出。

复杂的迭代中的椰子图案彼此之间没有任何联系。而bilve patra在第一次和连续的迭代中，有一个或两个点与下一个图案相连。所有其他的图案在连续的迭代中显示出一个或多个线条或形状的重叠。在椰子、乌龟、nabhi kamal和koyaree设计的第n次迭代中，人们还发现了(n 1)^2个基本图案，这些图案是基于六角形的点阵。见以下对图4a和4b中例子的描述。

图4c，d，e；知识的莲花，前三次迭代

Koyaree迭代：Koyaree的基本图案是先画7个水平等距的点，然后从六边形阵列中递减行，直到我们在顶部和底部两端各画一个。下一次迭代从11个点开始，如图4a所示。图4b显示了进一步迭代的koyaree，从15个点开始。你在第一次迭代中发现了四个基本图案，在第二次迭代中发现了九个。

在绘制Dnyan Kamal的迭代图时，我们希望保持图纸中的单线性，因为它允许编写高效的计算机程序来在计算机的帮助下创建设计。图4c、4d和4e分别显示了具有8、13和21个点的图。尽管看起来很漂亮，图4C中的8个点并不是单线的。图4c将通过以下数字模式(1，4，7，2，5，8，3，6，1)8次显示5个顺时针和3个逆时针螺旋来完成。图4d将通过以下数字模式(1，6，11，3，8，13，5，10，2，7，12，4，9，1)8次显示8个顺时针和5个逆时针螺旋来完成。迭代也是用不同的臂数绘制的。例如，花瓣可以是4、6、12、16……而不是8个。

计算机科学：印度金奈基督教学院的SiroMoney[2]和美国伊萨卡学院的Ascher[3]广泛研究了隐藏在dnyan Kamal、葡萄藤、Koyaree和其他kolam设计中的逻辑和递归语言。最近在对kolam设计的分析中发现了更多的内容[4]。

参考文献

[1] P. Gerdes, Geometry from Africa: Mathematical and Educational Explorations. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. 1999.

[2] G. Siromoney, Kolam, Kavyashastra Quarterly, April 1978. http://www.cmi.ac.in/gift/Kolam.htm

[3] M. Ascher, The Kolam Tradition; American Scientist, 2003.

[4] Y. Kawai, K. Takhashi, S. Nagata, PsyKolo3D-Interactive Computer Graphical Content of “Kolam” Design Blocks. Forma, Vol. 22, pp.113-118, 2007

[5] Madhuri Bapat, Mathematics in Rangolee Art from India

青山不改，绿水长流，在下告退。

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