哪几个自然数的平方相加是整数（两个神奇的复数）

实数进行无限次平方的规律，大家都知道吧。绝对值小于1的实数，无穷次平方之后，结果趋于或者等于0. 正负1进行无穷次平方的结果等于1，绝对值大于1的实数，进行无穷次平方的结果会趋于正无穷大。那么在复数范畴又会是怎么样的呢？

我们知道i的平方等于-1，因此正负i进行无穷次平方的结果等于1. 所以bi进行无穷次平方的结果由实数b决定。但是a bi进行无穷次平方的结果就变得有点复杂了。

可以发现，当a=b时，a bi进行n次平方后，可以得到b'i的形式。其中b'是2ab的n-1次平方。因此结果由实数2ab决定。

当a^2-b^2=2ab时，a bi进行n次平方后，也可以得到b"i的形式。其中b"i是8a^2b^2的n-2次平方。因此结果由实数8a^2b^2决定。

甚至可以延伸得到，当复数的实部和虚部系数相等时，复数都可以通过2次平方，使之变成实数。现在有一个问题，就是是否所有复数，都可以进行有限次平方，使结果变成实数。答案是否定的。

因为存在这么两个神奇的复数，记为α和β，它们满足α^2=β, 且β^2=α. 即对它们进行无穷次平方时，会形成在这两个复数间的一个循环关系。我们可以设α=a bi, β=c di. 则有：

a^2-b^2=c, 2ab=d, 且c^2-d^2=a, 2cd=b. 解得：a=c=-1/2(舍去正值), b=-d=正负根号3/2.

因此这两个复数就是(-1加减i根号3)/2. 检验一下，可以发现，(-1 i根号3)/2的平方等于(-1-i根号3)/2，而(-1-i根号3)/2的平方又等于(-1 i根号3)/2。

下面介绍一下，老黄是怎么发现这两个数字的(应该前人已经发现了，但这并不妨碍老黄个人的探究)。在解五次方程x^5 x^4 x^3 x^2 x 1=0时，取它的相反根方程：-x^5 x^4-x^3 x^2-x 1=0。并且将这两个方程相乘，就得到：x^10 x^8 x^6-x^4-x^2-1=0，换元使y=x^2，就有五次方程y^5 y^4 y^3-y^2-y-1=0.

由原方程因式分解得(x^3 1)(x^2 x 1)=0, 由换元后的方程因式分解得到(y^3-1)(y^2 y 1)=0. 不难发现，二次方程x^2 x 1=0的根的平方，仍是x^2 x 1=0的根。解得x=(-1加减i根号3)/2. 因此可以知道，这两个复数的平方互为等于彼此。

不仅如此，x^2-x 1=0的两个根(1加减i根号3)/2平方后，也会步入这个循环之中。这是老黄在研究五次方程的解法时的一个小发现。老黄觉得挺有意思的，因此写出来和大家分享一下。