高考必考典型题型（学霸必会的考点）

导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题：

1、求函数的解析式；

2、求函数的值域；

3、解决单调性问题；

4、求函数的极值（最值）；

5、构造函数证明不等式。

导数考查范围：

1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

2、熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

导数有关的高考试题分析，典型例题1：

已知函数f（x）=m/x xlnx（m＞0），g（x）=lnx﹣2．

（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）设函数h（x）=f（x）﹣xg（x）﹣√2，x＞0．若函数y=h（h（x））的最小值是3√2/2，求m的值；

（3）若函数f（x），g（x）的定义域都是[1，e]，对于函数f（x）的图象上的任意一点A，在函数g（x）的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围．

考点分析：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

题干分析：

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出h（x）的最小值，从而求出m的值即可；

（3）根据OA和OB的关系，问题转化为x²/2﹣x²lnx≤m≤x²（e﹣lnx）在[1，e]上恒成立，设p（x）=x²/2﹣x²lnx，根据函数的单调性求出m≥p（1）=1/2，设q（x）=x²（e﹣lnx），根据函数的单调性求出m≤q（1），从而求出m的范围即可．

导数有关的高考试题分析，典型例题2：

已知函数f（x）=ax² cosx（a∈R）记f（x）的导函数为g（x）

（1）证明：当a=1/2时，g（x）在R上的单调函数；

（2）若f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围；

（3）设函数h（x）的定义域为D，区间（m， ∞）⊆D．若h（x）在（m， ∞）上是单调函数，则称h（x）在D上广义单调．试证明函数y=f（x）﹣xlnx在0， ∞）上广义单调．

考点分析：

利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

题干分析：

（1）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，单调函数的极小值，从而确定a的具体范围即可；

（3）记h（x）=ax² cosx﹣xlnx（x＞0），求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性证明即可．

导数有关的高考试题分析，典型例题3：

已知函数f（x）=xex﹣a（lnx x）．

（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；

（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．

①求实数a的值；

②证明：x²ex＞（x 2）lnx 2sinx．

考点分析：

导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；不等式的证明．

题干分析：

（1）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论，当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，舍去．当a＞0时，f'（x）=0有唯一解x=x0，此时求出极值，进而得出答案．

（2）①当a≤0时，不符合题意．当a＞0时，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令t=1/a，上式即转化为lnt≥t﹣1，利用导数研究其单调性极值即可得出．

②由①可知x²ex﹣xlnx≥x² x，因而只需证明：∀x＞0，恒有x² x＞2lnx 2sinx．注意到前面已经证明：x﹣1≥lnx，因此只需证明：x²﹣x 2＞2sinx．对x分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出。

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