关于椭圆或双曲线的高考大题（把双曲线问题和圆的问题结合起来）

有人说高考很少出现双曲线问题，是因为双曲线问题太难了。真的是这样的吗？2022年高考数学全国理科乙卷就有这么一道选择题，不仅是关于双曲线的问题，而且同时涉及圆的问题，可以说是双曲线问题和圆的问题的结合，那又会是一种什么样的体验呢？

双曲线C的两个焦点F1, F2, 以C的实轴为直径的圆记为D, 过F1作D的切线与C交于M, N两点, 且cos∠F1NF2=3/5, 则C的离心率为

A. 根号5/2 B. 3/2 C. 根号13/2 D. 根号17/2

这道题如果不把图像的草图画出来，想要直接解决，恐怕非常困难，而画图像，也是这道题的难点之一。因为你很难直接画出比较准确的图像。不过图像只是一个参考，不准确其实对解题的影响也不大。

题目自然不只一种解法，老黄用的是老黄自己的解法。下面可能会出现打字出错的情况，身为高中生，应该有一定的判断能力，千万不要照抄，欢迎指正，但也千万不要只会挑错别字的毛病哦，那些都是跑遍的了。

分析：先列出角F1NF2的余弦公式。如下：

cos∠F1NF2=(F1N^2 F2N^2-F1F2^2)/(2F1N*F2N).

其中F1F2=2c，F1N-F2N=2a，通过配方，可以得到

cos∠F1NF2=(2F1N*F2N 4a^2-4c^2)/(2F1N*F2N)=3/5.

从而解得：F1N·F2N=5(c^2-a^2)=5b^2. 下面运用三角形关于正弦的面积公式，可以求得：

S△F1NF2=F1N·F2N·sin∠F1NF2/2=2b^2, (sin∠F1NF2=4/5)

又F1N-F2N=2a, 结合F1N·F2N=5b^2. 解决这个二元二次方程，可以得到：

F1N=根号(a^2 5b^2) a=根号(5c^2-4a^2) a, 再运用一次三角形关于正弦的面积公式，可以得到：

S△F1NF2=F1N·F1F2·sin∠NF1F2/2=2b^2. 其中sin∠NF1F2=a/c，这里的a是圆的半径。其实就是圆心D和切点之间的线段，c是DF1.

代入各线段和sin∠NF1F2的值，可以列得关系式：a根号(5c^2-4a^2) a^2=2(c^2-a^2).

两边同时除以a^2，就可以得到一个关于离心率e的方程：根号(5e^2-4) 1=2(e^2-1),

解决方程，就得到离心率e=根号13/2. 所以选C. 这里可以不用解方程，直接把四个选项代入方程检验根也可以。

老黄这个方法可以不用画辅助线。老黄在网上看到其他网友的方法，大多需要画至少两条辅助线。那么您有没有更好的方法呢？