神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)

幻方,也称九宫格,宋代数学家杨辉称之为纵横图,是我国一种传统数字游戏。幻方是将从1到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形,使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。古时候幻方经常在官府、学堂等场所出见,后来通过印度、阿拉伯等地传到西方,因其奇幻的特性,被称为Magic Square,即"幻方"或"魔方"。

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(1)

传说上古伏羲氏时,有龙马从黄河里跳出来,背上负着河图;有神龟从洛水里跳出来,背上负有洛书。伏羲氏根据河图、洛书演化成八卦。洛书便是最早的幻方,用现代数学语言解释,就是用1~9九个数字,填在九个格子里,使每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15。

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(2)

洛书被世界公认为组合数学的鼻祖,它是中华民族对人类的伟大贡献之一。同时,洛书以其高度抽象的内涵,对中国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等等都产生了重要影响。在远古传说中,于治国安邦上也具有积极的寓意。包括洛书在内的幻方自古以来在亚、欧、美洲不少国家都被作为驱邪避凶的吉祥物。

最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》,它认为"天有六极五常,帝王顺之则治,逆之则凶。九洛之事,治成德备,监照下土,天下戴之,此谓上皇"。远古时代,伏羲依靠河图画出八卦,大禹按照洛书划分九州,并制定治理天下的九类大法,圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策,对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。大禹从洛书中数的相互制约,均衡统一得到启发而制定国家的法律体系,使得天下一统,归于大治,这就是"借鉴思维"的开端,这种活化思维的方式已成为现代科学灵感的来源之一。中国不仅拥有幻方的发明权,而且是对幻方进行深入研究的国家。从洛书发端的幻方在数千年后更加生机盎然,被称为具有永恒魅力的数学问题。十三世纪,中国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究,并编制出三至十阶幻方,记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(3)

欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究,但直到1514年,德国著名画家杜勒才绘制出了完整的四阶幻方。直到十五世纪,住在君士坦丁堡的魔索普拉才把中国的纵横图传给了欧洲人,欧洲人认为幻方可以镇压妖魔,所以把它作为护身符,也把它叫作【Magic Square】。1977年,四阶幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1号、2号飞船携入太空,向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类文明信息与美好祝愿。

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(4)

《射雕英雄传》里面有一个情节,郭靖带着受伤的黄蓉四处求高人疗伤,遇见瑛姑。瑛姑也爱好各种奇门术数,但是花了好多年却解不出一个三阶幻方。这个三阶幻方也就是"洛书",它有三行三列,九个空格分别填上一到九这九个数字,使得每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等。

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(5)

黄蓉是黄老邪的女儿,古灵精怪,自然也精通此道,很快告诉了瑛姑答案。于是瑛姑就告诉郭靖黄蓉可以找段皇爷疗伤。当然瑛姑其实也是为了找段皇爷寻仇。这是后话。其实三阶的幻方太简单了。我倒觉得金庸可以可以把这一段情节改成瑛姑解的是一个五阶幻方,就是五行五列的幻方,甚至是七行七列的幻方,这样花十几年解不出也情有可原,难度大些,瑛姑也不至于显得那么笨。不知道金庸是不是为了衬托黄蓉的聪明?她的口诀是:九宫之义,法以灵龟,二四为肩,六八为足,左七右三,戴九履一,五居中央。

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(6)

用数学语言表述,幻方是指在n×n(n行n列)的方格里,既不重复又不遗漏地填上n个连续的自然数,每个数占一格,并使排在任一行、任一列和两条对角线上的几个自然数的和都相等,这个和叫幻和,n叫幻方的阶,这样的数表叫n阶幻方。下面介绍构造幻方的最简单方法。

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(7)

1.如果一个n×n矩阵(教材中表现为方格图)的每行,每列及两条对角线的元素之和都相等,且这些元素都是从1到n的自然数,这样的矩阵就称为n阶幻方.有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年,这是一类形式独特的填数字问题.下面介绍一种构造三阶幻方方法﹣﹣﹣杨辉法:(如图(1))口诀:"九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出"

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(8)

学以致用:

(1)请你将下列九个数:﹣18、﹣16、﹣14、﹣12、﹣10、﹣8、﹣6、﹣4、﹣2,分别填入方格1中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等;

(2)将方格2中左边方格中的9个数填入右边方格中,使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和相等;

(3)将9个连续自然数填入方格3的方格内,使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之和都等于60;

(4)用﹣3~5这九个数补全方格4中的幻方.

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(9)

【分析】(1)读题意,按照口诀:"九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出",即可得出结论;

(2)按照口诀:"九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出",即可得出结论;

(3)根据已知,算出该9个连续自然数,按照口诀:"九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出",即可得出结论;

(4)按照口诀:"九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出",即可得出结论.

【解答】(1)按照口诀:"九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出"

得出方格1:

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(10)

(2)按照口诀:"九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出"

得出结论:

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(11)

(3)设9个连续自然数中第5个数为x,由已知可得:9x=60×3,解得:x=20.

故这连续的九个数为:16,17,18,19,20,21,22,23,24.

按照口诀:"九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出"

得出方格3:

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(12)

(4)按照口诀:"九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出",得出方格4:

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(13)

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及构造三阶幻方方法﹣﹣﹣杨辉法的应用,解题的关键是读懂题意,按照口诀一步步的变换.本题属于中档题型,有点难度,解题过程中有巧妙的办法,即利用给定的例题,再找出所以填写的9个数的中位数,看二者相差多少,再去给定的四维挺出表格中做相应的变动即可.

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(14)

2.问题探究:为了探究上述问题,我们不妨从简单的三阶幻方①入手;

探究一:如图②,九个数2,3,4,5,6,7,8,9,10已填到方格中,显然每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,构成了一个三阶幻方②,所以构成三阶幻方①的九个数同时加1,所得到的九个数仍可构成一个三阶幻方.

如图③,九个数﹣2,﹣1,0,1,2,3,4,5,6已填到方格中,显然每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,构成了一个三阶幻方③,所以构成三阶幻方①的九个数同时减3,所得到的九个数仍可构成一个三阶幻方.

请把九个数0.5,1.5,2.5,3.5,4.5,5.5,6.5,7.5,8.5填到图④的方格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,构成了一个三阶幻方④,所以构成三阶幻方①的九个数同时减0.5,所得到的九个数仍可构成一个三阶幻方.

(1)根据探究一可得任意三阶幻方的性质(1): .

探究二:如图⑤,九个数3,6,9,12,15,18,21,24,27已填到方格中,显然每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,构成了一个三阶幻方⑤.所以构成三阶幻方①的九个数同时乘3,所得到的九个数仍可构成一个三阶幻方.

如图⑥,九个数0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5已填到方格中,显然每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,构成了一个三阶幻方⑥.所以构成三阶幻方①的九个数同时除以2,所得到的九个数仍可构成一个三阶幻方.

请把九个数﹣4,﹣8,﹣12,﹣16,﹣20,﹣24,﹣28,﹣32,﹣36填到图⑦的方格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,构成了一个三阶幻方⑦.所以构成三阶幻方①的九个数同时乘﹣4,所得到的九个数仍可构成一个三阶幻方.

(2)根据探究二可得任意三阶幻方的性质(2):_____________ .

性质应用:

6,8,10,12,14,16,18,20,22这九个数能否构成三阶幻方?请在图8中用三阶幻方的性质进行说明.

【分析】(1)根据图②、③的作法将九个数同时减0.5填到图④中相应位置,类比等式性质得出规律即可;

(2)根据图⑤、⑥的作法将九个数同时乘﹣4填到图⑦相应位置,可类比等式的性质得出规律;将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数先乘以2、再加上4即可得出结论.

【解答】(1)如图④,

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(15)

由题意知,三阶幻方的性质(1)构成三阶幻方的九个数,每个数同时加或减同一个数,所得到的九个数仍能构成三阶幻方.故答案为:构成三阶幻方的九个数,每个数同时加或减同一个数,所得到的九个数仍能构成三阶幻方;

(2)如图⑦,

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(16)

由题意得:三阶幻方的性质(2)构成三阶幻方的九个数,每个数同时乘同一个数或除以同一个不为0的数,所得到的九个数仍能构成三阶幻方.故答案为:构成三阶幻方的九个数,每个数同时乘同一个数或除以同一个不为0的数,所得到的九个数仍能构成三阶幻方.

先将三阶幻方的九个数1,2,3,4,5,6,7,8,9,每个数都乘2,得2,4,6,8,10,12,14,16,18,

根据三阶幻方性质②,2,4,6,8,10,12,14,16,18能构成三阶幻方.

再将2,4,6,8,10,12,14,16,18,每个数都加4得6,8,10,12,14,16,18,20,22,

根据三阶幻方性质①,6,8,10,12,14,16,18,20,22能构成三阶幻方.

所以,6,8,10,12,14,16,18,20,22这九个数能构成三阶幻方,

如图⑧,

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(17)

【点评】本题主要考查数字的变化类,理解题意类比等式的性质是解题的关键.

神奇的幻方是什么(来自远古的高等科学)(18)

幻方之美在于其内在的数学原理,在于其外在的完美形态,更在于它无穷无尽的变幻。每个幻方以整齐划一、均衡对称、和谐统一的特性,迸发出耀人的数学之美的光辉。如今,幻方仍然是组合数学的研究课题之一,经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力,幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。在种类上,更加可以细分为完全幻方、乘幻方、多阶幻方、高次幻方,以及反幻方等。当前,幻方已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。可以说,来自远古的幻方,将带领人类走向更高智能的未来。

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